Для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии используется случайная величина 1 страница

Т _bi = b_i / S_bi, i = 0, 1, 2, …, m, (2.12)

имеющая распределение Стьюдента.

Правило проверки заключается в выполнении следующих действий.

1. Вычисляется наблюдаемое значение критерия для i -го коэффициента (2.12).

2. По заданным уровням значимости , i = 0, 1, …, m и степени свободы по таблице распределения Стьюдента определяются критические значения распределения t _крит().

3. Сравниваются наблюдаемые и критические значения между собой. Результатом сравнения является вывод о значимости коэффициентов b ₀, b ₁, b ₂, …, b_m.

2. Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии.

Так как объем выборки ограничен, то b ₀, b ₁, b ₂, …, b _m – случайные величины, поэтому желательно найти доверительные интервалы для истинных значений ₀, ₁, ₂, …, _m. Для этого также используется t – критерий Стьюдента. Интервальные оценки коэффициентов уравнения регрессии определяются по формулам

(2.13)

3. Проверка общего качества уравнения регрессии.

Для этой цели, как и в случае парной регрессии, используется коэффициент детерминации R²:

R ² = 1 - е_i ² / (y_i - )². (2.14)

В множественной регрессии каждая новая переменная х_i приводит к увеличению R ², хотя это еще не означает, что уравнение регрессии становится более значимым. Чтобы исключить эту зависимость от числа переменных, иногда используют так называемый скорректированный коэффициент детерминации:

. (2.15)

Или эту формулу можно преобразовать к виду:

. (2.16)

4. Анализ статистической значимости коэффициента детерминации.

По величине R ² можно только предполагать насколько значимо или не значимо уравнение регрессии. Даже при небольшой величине R ² (< 0,5) не всегда следует отказываться от уравнения регрессии. Для этого необходимо проверить статистическую значимость самого коэффициента детерминации. Для чего проверяются гипотезы

Н ₀: R ² = 0,

Н ₁: R ² > 0.

Для проверки используется распределение Фишера. Вычисляется F – статистика:

. (2.17)

При заданном уровне значимости по таблице критических точек Фишера находится f_кр, и если F > f_кр, то R ² статистически значим.

5. Проверка выполнимости предпосылок МНК с помощью статистики Дар бина-Уотсона.

Статистическая значимость коэффициентов регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R ² еще не гарантируют высокое качество уравнения регрессии. Если не выполняются необходимые предпосылки МНК об отклонениях , то коэффициенты регрессии и само уравнение являются не вполне состоятельными, а это значит что внешние признаки «хорошего» уравнения не отвечают действительности. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения регрессии является проверка соответствия выборочных данных предпосылкам МНК. Для этого воспользуемся статистикой Дарбина – Уотсона, которая устанавливает, в частности, наличие или отсутствие статистической зависимости между ошибками . Так как истинные значения неизвестны, то проверка осуществляется в отношении оценок ошибок е_i. При этом проверяется некоррелированность соседних значений е_i.

Статистика Дарбина – Уотсона DW рассчитывается по формуле:

. (2.18)

По таблицам критических точек Дарбина – Уотсона, входными параметрами которых являются: n – число наблюдений; m – количество объясняющих переменных; - уровень значимости, определяются два числа: d ₁ – нижняя граница; d_u – верхняя граница.

Выводы осуществляются по следующей схеме.

Если DW < d ₁, то это свидетельствует о положительной автокорреляции остатков.

Если DW > 4 - d ₁, то это свидетельствует об отрицательной автокорреляции остатков.

При d_u < DW < 4 – d_u принимается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков.

Если d ₁ < DW < d_u или 4 – d_u < DW < 4 – d ₁, то остается неопределенность по вопросу наличия или отсутствия автокорреляции остатков.

В случае обнаружения признака автокорреляции необходимо скорректировать уравнение регрессии в соответствии с рекомендациями Главы IV

6. Прогноз значений зависимой переменной.

По аналогии с парной регрессией может быть построена интервальная оценка для среднего значения прогноза. Здесь речь идет о возможных значениях Y_р при определенных значениях вектора объясняющей переменной Х_р = (1, х _{1 р} , х _{2 р} , …, х_mр)^т.

Интервальный прогноз для среднего значения вычисляется следующим образом:

_р t_кр S , (2.19)

где _р = b ₀ + b ₁ x _{1 р} + b ₂ x _{2 р} + …+ b_m x_mр; t _кр – критическое значение, полученное по распределению Стьюдента при количестве степеней свободы = n - m- 1 и заданной вероятности /2.

2.2. Реализация задания на компьютере с помощью ППП Ехсеl

Здесь так же, как и в парной регрессии необходимо выполнить задание в двух вариантах:

ВНИМАНИЕ! Каждый студент должен выполнить индивидуальное задание с использованием компьютера в двух вариантах:

3) Реализовать формулы (2.1) – (2.19) с помощью одиночных функций ППП Ехсеl.

4) Использовать «комплексные» функции, выходом которых являются не только коэффициенты регрессии, но и дополнительная регрессионная статистика (среднеквадратические отклонения, коэффициент детерминации и т.д.).

3) Реализация регрессионных формул (2.1) – (2.19) с помощью одиночных функций.

В первую очередь необходимо представить данные наблюдений в матричной форме (см. рис.2.1). Затем используя матричные функции из Мастер функций: МОБР, МУМНОЖ, ТРАНСП реализуем формулу (2.8), результатом которой будет вектор оценок коэффициентов регрессии В.

Примечание. Вышеперечисленные функции должны быть введены, как функции массивов в интервал с необходимым количеством строк и столбцов (см. реализацию функции ЛИНЕЙН в парной регрессии).

Для вычисления дисперсий необходимо вычислить S ² в соответствие с формулой (2.10). На основании Т -статистик делается вывод о значимости коэффициентов регрессии их доверительные интервалы. Значения t_кр можно получить, используя статистическую функцию СТЬЮДРАСПОБР. По соответствующим формулам вычисляются коэффициент детерминации R ² и F – критерий, на основании которых делается вывод о значимости уравнения регрессии в целом. Для нахождения критической точки f_кр нужно воспользоваться функцией FРАСПОБР.

Проверка соответствия предпосылкам МНК осуществляется по критерию Дарбина – Уотсона. Критические значения распределения определяются из таблицы (электронного варианта таблицы нет).

Примерный вид реализации задачи на компьютере представлен на рис.2.2.

Значение Y		Матрица Х

Рис.2.1

Рис.2.2

Для графической иллюстрации приближения корреляционной функции и выборочных данных y_i воспользуемся Мастером диаграмм (График) (см. рис.2.3).

Значение Y	Yмод
	22,48852
	23,7304085
	31,009917
	28,6979627
	33,4936941
	37,0475369
	39,531314
	38,4612482
	45,7407567
	51,7783766
	53,0202652

Рис.2.3

На рис.2.2 в ячейке с названием «S(Yp)» была вычислена стандартная ошибка прогноза объясняемой переменной по формуле:

S (Y_р) = S ,

которую необходимо использовать для определения интервальной оценки среднего значения предсказания.

4) Использование «Комплексных» функций.

В качестве такой функции может быть использована встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН.

Дополнительная регрессионная статистика (в случае ее инициализации) будет выводиться в порядке, указанном на рис.2.4.

Рис.2.4.

Обозначения на рисунке следующие: b – свободный коэффициент линейной регрессии; m_i – коэффициенты при х_i; Se – стандартные ошибки коэффициентов регрессии; r2 - коэффициент детерминации; Sey - стандартная ошибка для оценки у; F – F - статистика; d_f – количество степеней свободы; Ssрег – регрессионная сумма квадратов; Ssост – остаточная сумма квадратов.

Для лучшей наглядности можно нужные значения из этой таблицы выбирать индивидуально и размещать в нужных форматах документа. Для этого можно воспользоваться функцией ИНДЕКС из категории Ссылки и массивы. Выделите ячейку, в которую хотите поместить отдельный элемент массива и введите формулу, например: Индекс (Линейн (Y;Х;1;1);1;2). В результате в данную ячейку будет записан элемент (1,2) регрессионной таблицы. Таким образом, можно создать более наглядную таблицу.

Пример решения задания на компьютере с использованием функции ЛИНЕЙН представлен на рисунках 2.5, 2.6.

	Значения X1	Значения X2	Значения Y
Результаты вычислений параметров модели
	y = b0+b1*x1+b2*x2
b0	b1	b2	Sb0	Sb1	Sb2
2,9619489	0,1241889	3,5538428	1,89297977	0,021231	1,01465
Sy	r2	F -статист	Кол.ст.св	Ss рег	Ss ост
1,7407109	0,9777126	175,47354		1063,396	24,2406
	Определение Ттабл и Fтабл
Al =	0,05		Выводы:1)Если Тbi > Tтабл,
			то коэффициент bi - статис-
			тически значим.
Fтабл	Ттабл		2)Если F-статист > Fтабл,
			то коэффициент детерми-
4,4589683	2,3060056		нации r2- cтатистически зна-
			чим. Общее качество моде-
			ли высокое.

Рис.2.5

	№ изм.	Yфакт	Yмод
			22,48852
			23,73041
			31,00992
			28,69796
			33,49369
			37,04754
			39,53131
			38,46125
			45,74076
			51,77838
			53,02027
	Определение Т-стат. для коэффициентов bi
		и доверительных интервалов
		b0	b1	b2
Т-статистика	1,56470182	5,84952	3,5025331
Нижн.гран.дов.инт.	-1,4032731	0,075231	1,2140558
Верх.гран.дов.инт.	7,32717092	0,173147	5,8936299

Рис.2.6

Так же, как и в парной регрессии для оценки коэффициентов множественной регрессии и получения дополнительной статистики кроме функции Линейн можно воспользоваться Статистическим пакетом анализа данных.

Установка пакета анализа достаточно подробно описана в п. 1.2. В диалоговом окне Анализ данных в списке Инструменты анализа выберите строку Регрессия и заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода. Результаты регрессионного анализа для данных выше использованного примерапредставлены на рис.2.7.

Рис.2.7

2.3. Контрольные задания

Задача 1. Предполагается, что объем Q предложения некоторого блага для функционирующей в условиях конкуренции фирмы зависит линейно от цены Р данного блага и заработной платы W сотрудников фирмы, производящих данное благо:

Q = ₀ + ₁ Р + ₂ W + .

Статистические данные, собранные за 12 месяцев, занесены в таблицу.

Задание.

1. По МНК оценить коэффициенты линейной регрессии _i, i = 0, 1, 2;

2. Оценить статистическую значимость найденных эмпирических коэффициентов регрессии b _i, i =0, 1, 2;

3. В соответствие с заданным значением построить доверительные интервалы для найденных коэффициентов;

4. Вычислить коэффициент детерминации R ² и оценить его статистическую значимость при заданном значении ;

5. Определить какой процент разброса зависимой переменной объясняется данной регрессией;

6. Сравнить коэффициент детерминации R ² со скорректированным коэффициентом детерминации;

7. Вычислить статистику DW Дарбина-Уотсона и оценить наличие автокорреляции;

8. Посредством коэффициентов b_i, i = 1, 2, оценить в % отношении влияние объясняющих переменных P и W на изменение объясняемой переменной;

9. Спрогнозировать значение объясняемой переменной Q _прогн для прогнозных значений Р _прогн, W _прогн и определить доверительный интервал для Q _прогн;

10. Сделать обобщающие выводы по регрессионной модели.

Вариант 1.1

Q

P

W

Р _прогн = 60, W _прогн = 2, = 0,01.

Вариант 1.2

Q

P

W

Р _прогн = 75, W _прогн = 1, = 0,02.

Вариант 1.3

Q

P

W

Дата добавления: 2014-11-29