Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка. 7 страница

Так как потери превышают допустимую норму, то число линий необходимо увеличить. При u = 20 p =0,0087; при u=21 р =0,0054»0,005. Таким образом, u=21.

3. Метод О'Делла:

Нагрузка, обслуженная всеми линиями неполнодоступного пучка, у _o= у (1 –р) =10´(1-0,005)=9,95 Эрл.

Нагрузка, поступающая на d линий полнодоступного пучка при заданной норме потерь р= 0,005, определяется по таблицам первой формулы Эрланга: y _u =d =3,96 Эрл. Нагрузка, обслуженная d линиями полнодоступного пучка при р =0,005,

Из сравнения результатов расчета числа линий тремя методами следует, что приближенный метод Эрланга значительно занижает число линий по сравнению с методом Лотце–Бабицкого и методом О'Делла.

Контрольные вопросы

1. Укажите основные особенности ступенчатой и равномерной неполнодоступных схем и их отличие.

2. Какими параметрами характеризуется структура ступенчатой НС?

3. Какими параметрами характеризуется структура равномерной НС?

4. Составьте матрицы связности для четвертого, шестого и девятого вариантов структуры шестигрупповой НС, приведенной на рис. 8.2, и сравните их.

5. Определите структурные параметры двухгрупповой (g= 2) ступенчатой НС на 14 выходов (u=14) при доступности d= 10.

6. Определите число возможных вариантов структуры неполнодоступной НС при d =10, u = 30, g= 6.

7. Определите структурные параметры четырехгрупповой равномерной НС при d= 10 и u = 16.

8. Определите число нагрузочных групп идеально симметричной НС для случайного равновероятного искания при u = 16 и d= 10.

9. Определите вероятность потерь в идеально симметричной НС с параметрами u = 3, d =2 при интенсивности поступающей нагрузки у= 1 Эрл.

10. Укажите, как зависит число выходов НС от доступности при заданных нагрузке и вероятности потерь.

11. Укажите, как зависит число выходов НС от качества обслуживания (вероятности потерь) при заданных нагрузке и доступности.

12. Изобразите характер зависимости среднего использования выхода НС от общего числа выходов при заданных доступности я вероятности потерь.

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ

Звеньевые коммутационные системы

9.1. Общие сведения

Особенности звеньевых коммутационных схем заключаются в том, что в соединении между одним из входов и одним из выходов схемы кроме точек коммутации участвуют также промежуточные линии (ПЛ).

Рассмотрим двухзвеньевую схему, приведенную на рис. 9.1, у которой любой выход схемы доступен любому входу (полнодоступный пучок выходов). Схема изображена в общем виде и имеет k коммутаторов в первом звене на п входов и т выходов каждый и т коммутаторов во втором звене на k входов и l выходов каждый. Выходы схемы разбиты на группы (направления). На рисунке показано два направления – направление H_i, к которому отнесены по два выхода в каждом коммутаторе второго звена и имеющее таким образом 2 т выходов, и направление H_j, имеющее т выходов (по одному выходу в каждом коммутаторе второго звена). В общем случае число выходов в каждом коммутаторе, отводимых для одного направления, может быть равно q, и тогда суммарное число выходов в направлении составит тq.

В простейших однозвеньевых коммутационных схемах с полнодоступным включением выходов, которые называют коммутаторами, обслуживание поступающего на вход вызова заключается вподключении к этому входу свободного выхода в одной точке коммутации (одно звено соединения). В более сложных неполнодоступных схемах (см. рис. 8.1) при установлении соединения устанавливается путь, содержащий также только одно звено.

В двухзвеньевой коммутационной схеме для установления соединения входа с выходом требуются две точки коммутации и одна из промежуточных линий, и, таким образом, соединительный путь содержит два звена соединения – ПЛ и выход.

Коммутационные схемы, содержащие два и более звеньев в соединительном пути, называют звеньевыми. В общем случае звеньевая схема – это схема, имеющая входы, выходы, коммутаторы и промежуточные линии. Все эти элементы взаимно связаны между собой и образуют некоторую структуру, которая позволяет соединить вход с выходом, используя определенные промежуточные линии и точки коммутации, т. е. устанавливая соединительный путь между входом и выходом. Каждый соединительный путь в схеме можно задать упорядоченным набором промежуточных линий. При этом любые две соседние промежуточные линии соединительного пути могут быть соединены между собой в точке коммутации. Если все промежуточные линии и выход, составляющие соединительный путь, свободны, то и этот путь свободен. Соединительный путь считается занятым, если хотя бы одна из промежуточных линий или выход заняты.

Любая звеньевая схема имеет конечное число состояний, каждое из которых отличается комбинацией занятых входов, выходов и промежуточных линий.

По сравнению с однозвеньевыми полнодоступными схемами, рассмотренными в гл. 4–6, и однозвеньевыми неполнодоступными схемами, рассмотренными в гл. 8, звеньевые схемы имеют большее число состояний. Поэтому для звеньевых схем, представляющих практический интерес, система уравнений для вероятностей состояний во многих случаях не может быть решена, а в отдельных случаях не может быть даже выписана.

Исследование звеньевых схем сложно не только из-за их большого числа состояний. Дополнительные усложнения возникают также и из-за того, что между процессами, происходящими в разных направлениях выходов звеньевой схемы, существует взаимная зависимость. Это можно уяснить, рассматривая схему на рис. 9.1. Для установления соединения к выходам направлений H_i и H_j используются одни и те же промежуточные линии. Поэтому занятие промежуточных линий для подключения к выходам одного направления изменяет вероятность занятия выходов другого направления.

Если для звеньевой схемы предположить, что существуют условные вероятности блокировки g _i, которые зависят лишь от числа занятых выходов, то для простейшего потока вызовов и показательного распределения длительности занятия можно записать уравнения для вероятностей состояний и воспользоваться методом условных вероятностей, разработанным Г. П. Башариным. Однако в общем случае условные вероятности блокировки зависят не только от числа занятых выходов, но и от структуры схемы, поступающей нагрузки и алгоритма установления соединения, что усложняет задачи исследования звеньевой схемы. В связи с этим инженерный расчет звеньевых схем основывается на априорных предположениях относительно способа математического описания результатов воздействия поступающего потока вызовов на отдельные звенья соединения. Обычно предполагается, что процессы, протекающие в различных звеньях схемы, независимы и могут быть описаны каким-нибудь простым законом распределения; кроме того, используются и другие упрощающие предположения. Это облегчает решение задачи, однако вносит отклонение от истинных характеристик, имеющих место в процессе функционирования схемы.

В большинстве случаев нельзя заранее указать, в какой степени то или иное упрощающее предположение искажает истинную величину отыскиваемого показателя (например, вероятности потерь), поэтому для определения степени погрешности приближенных методов можно воспользоваться сравнением с результатами моделирования на ЭВМ. Поскольку наиболее простыми звеньевыми схемами являются схемы с двумя звеньями соединения, то в первую очередь изучим методы расчета потерь в таких схемах.

Из самых распространенных в настоящее время приближенных инженерных методов расчета двухзвеньевых схем рассмотрим два метода: комбинаторный метод Якобеуса и метод эффективной доступности. Сейчас существует тенденция разработки методов расчета числа соединительных устройств с использованием результатов статистического моделирования на ЭВМ. Полученные результаты, как правило, аппроксимируются какими-нибудь простыми функциональными зависимостями. Так как практически невозможно получить числовые данные для любых значений нагрузки и параметров структуры, которые могут встретиться при расчетах, то такого типа методы предполагают интерполяцию и экстраполяцию в области, где числовые данные не получены.

9.2. Комбинаторный метод. Полнодоступное включение выходов

Рассмотрим на примере односвязной двухзвеньевой схемы, приведенной на рис. 9.1, комбинаторный метод расчета, разработанный шведским ученым Якобеусом.

Число выходов из каждого коммутатора звена В этой схемы для направления H_j равно единице (q =1 ). Будем считать, что к рассматриваемому моменту времени вызов поступил на один из входов схемы, к примеру на второй вход первого коммутатора.

Установление соединения через схему, т. е. между определенным входом и одним из выходов рассматриваемого направления H_j, заключается в использовании одной из свободных промежуточных линий и одного из свободных выходов требуемого направления, взаимно доступных друг другу. Для обслуживания поступившего вызова в рассматриваемом случае могут быть использованы т промежуточных линий и т выходов требуемого направления, которые выделены на рис. 9.1 жирными линиями. Соединение может быть установлено, если имеется пара свободных и взаимно доступных звеньев. Если такой пары нет, то наступают потери соединений.

Таким образом, потери возникают в трех случаях: 1) если заняты все промежуточные линии, которые могут быть использованы для поступившего вызова; 2) если заняты все выходы в требуемом направлении; 3) когда возникают неудачные комбинации свободных промежуточных линий и свободных выходов.

Если считать, что рассматриваемый вызов поступил на отмеченный вход первого коммутатора в момент, когда i промежуточных линий из т, подключенных к выходам данного коммутатора, заняты, то для подключения входа к одному из выходов требуемого направления могут быть использованы только оставшиеся т – i промежуточных линий. Если же выходы требуемого направления, соответствующие этим т–i линиям, заняты, то наступят потери. Это утверждение справедливо для любого i, лежащего в пределах 0£ i £ m, и охватывает два случая занятости: всех промежуточных линий (i = m) и всех выходов в направлении (i =0).

Если вероятность занятия любых i из m промежуточных линий, принадлежащих одному коммутатору первого звена, обозначить через W_i,а вероятность занятия определенных т–i выходов (соответствующих свободным промежуточным линиям) – через Н_т-i, то в соответствии со сказанным можно записать следующее выражение для потерь[1]:

Записанная формула справедлива при выполнении следующих двух предположений:

1. Независимость событий, описываемых вероятностями W_i и H_m–i. (Предположения являются условными, так как промежуточные линии и выходы занимаются парами.)

2. Случайное (равновероятное) занятие промежуточных линий и выходов. При этом все вероятности занятия i промежуточных линий считаются в (9.1) равными между собой вне зависимости от того, какие i из т линий заняты. (При наличии определенного порядка занятия промежуточных линий это предположение несправедливо.)

Для подсчета потерь в соответствии с выражением (9.1) необходимо знать вероятности W_i и Н_т-i, т. е. функции распределения вероятностей занятия промежуточных линий и выходов.

Комбинаторный метод Якобеуса предусматривает использование распределений Эрланга и Бернулли. При использовании распределения Эрланга вероятность занятия i любых соединительных устройств в пучке из m таких устройств при интенсивности нагрузки у Эрл на пучок принимается равной

а вероятность занятия m–i фиксированных соединительных устройств в пучке из m устройств

где выражение Е_т(у) – это потери в полнодоступном пучке из т соединительных устройств при интенсивности нагрузки у Эрл на пучок, вычисленные по формуле Эрланга, т. е.

a E_i(y) – потери при той же интенсивности нагрузки в пучке из i соединительных устройств, т. е.

При использовании распределения Бернулли (биномиальное распределение) вероятность W_i занятия i любых соединительных устройств в пучке из т устройств при интенсивности нагрузки у Эрл на пучок принимается равной

где С ⁱ_m – число сочетаний из т по i; h – средняя нагрузка, обслуженная одним соединительным устройством в пучке.

Вероятность H_m-i занятия т–i фиксированных соединительных устройств при тех же условиях принимается равной

Распределение Эрланга предполагает неограниченное число источников нагрузки, а (9.2) и (9.3) основываются на интенсивности поступающей нагрузки. Распределение Бернулли предполагает ограниченное число источников нагрузки, не превышающее число соединительных устройств, а в (9.4) и (9.5) входит обслуженная нагрузка.

Естественно, что величина вероятности потерь при использовании различных распределений получится различной. Метод рекомендует принимать распределение Эрланга при определении вероятности занятия тех соединительных устройств, для которых число источников нагрузки больше числа соединительных устройств. Использование распределения Бернулли считается целесообразным при числе источников нагрузки, примерно равном числу соединительных устройств, для которых определяются вероятности занятия.

Расчетные формулы для определения вероятности потерь в двухзвеньевой схеме можно получить, если в общее выражение для потерь (9.1) подставить выражения для W_i и H_m-i.

9.3. Потери в двухзвеньевых схемах при отсутствии сжатия и расширения

При отсутствии сжатия (концентрации) и расширения число входов в каждый коммутатор первого звена п равно числу выходов т в каждом из этих коммутаторов. В данном случае для промежуточных линий, в соответствии с рассматриваемым методом, можно принять распределение Бернулли, так как число источников телефонной нагрузки, которыми являются входы, равно числу соединительных устройств (промежуточных линий). Если для выходов двухзвеньевой схемы можно также принять распределение Бернулли, что может быть справедливым при небольшом числе коммутаторов первого звена, тогда W_i и H_m-i будут иметь следующие выражения:

относя W_i к промежуточным линиям, получим W_i=Cⁱ_mbⁱ( 1 –b)^т-i где Сⁱ_т – число сочетаний из т по i; b – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одной промежуточной линией, Эрл;

для вероятности Н_т-i, отнесенной к выходам, выражение имеет вид Н_т-i=с^m-i, где с – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним выходом рассматриваемого направления, Эрл.

Подставляя значения W_i и H_m-i в (9.1), получаем

Учитывая формулу бинома Ньютона, получаем

Если число коммутаторов k в первом звене велико, тогда для выходов рассматриваемого направления целесообразно принять распределение Эрланга. Относя W_i к направлению, а H_m-i к промежуточным линиям, получим

где у – интенсивность поступающей нагрузки на направление, Эрл. Подставляя эти выражения в (9.1), получаем

Вынося затем несуммирующиеся множители за знак суммы, находим

Используя указанное ранее обозначение для первой формулы Эрланга, получаем выражение для потерь в рассматриваемом случае:

Если для образования направления отводится в каждом коммутаторе второго звена q выходов, то для случая, когда и занятие выходов и занятие промежуточных линий можно описать распределением Бернулли, будем иметь W_i=Cⁱ_mbⁱ( 1 –b)^т-i; H_(m-i)q = c^(m-i)q. Подставляя эти выражения в (9.1) и учитывая формулу бинома Ньютона, получаем

Если занятие выходов подчиняется распределению Эрланга, а занятие промежуточных линий – распределению Бернулли, то в этом случае выражение для потерь при некоторых дополнительных ограничениях может быть преобразовано к виду

В соответствии с рассматриваемым методом данная формула может применяться и для дробных значений q.

Следует отметить, что выражения (9.8) и (9.9) имеют более общий вид и включают в себя соответственно (9.6) и (9.7), которые можно получить из первых двух, полагая q= 1.

9.4. Потери в двухзвеньевых схемах при наличии сжатия или расширения

В схемах со сжатием (концентрацией) число входов п в коммутатор первого звена больше числа выходов m из этого коммутатора. В таких схемах потери возникают из-за наличия неудачных сочетаний занятых промежуточных линий и выходов, а также при поступлении на входы коммутатора первого звена более m вызовов.

Если при q ³1 и распределении Бернулли для промежуточных линий и выходов W_i отнести к промежуточным линиям, а H_(m-i)q – к выходам рассматриваемого направления, то можно записать W_i = Cⁱ_na^l (l– а) ^n-i и Н_(m-i)q=c^(m-i)q, где а – средняя интенсивность нагрузки, обслуженной одним входом коммутатора первого звена. Потери для данного случая определяются следующим образом:

В этом выражении первое слагаемое учитывает потери из-за неудачных сочетаний при занятиях промежуточных линий и выходов, а второе – потери за счет поступления более т вызовов в один коммутатор первого звена.

Если искание свободных выходов в схемах с q> 1производить в два этапа, т. е. таким образом, чтобы в первую очередь занимались все выходы в q– 1 столбцах (группах) выходов и только после этого занимались бы выходы последнего столбца (группы) q, то можно приближенно выразить потери для схем с концентрацией при q³ 1:

где b=(п/т)а.

Для случая неупорядоченного занятия выходов в направлении достаточно точные результаты дает выражение (9.8).

Если для первого звена сохранить распределение Бернулли, а для второго звена принять распределение Эрланга, то для двухэтапного искания можно получить следующее приближенное выражение для потерь:

В схемах с расширением число входов п в каждый коммутатор первого звена меньше числа выходов m из коммутатора. В такой схеме число одновременных вызовов не превышает п, а следовательно, меньше т, поэтому потери могут иметь место только за счет неудачных сочетаний занятых промежуточных линий и выходов. Если и для промежуточных линий и для выходов справедливо распределение Бернулли, то при q ³1и W_i,отнесенном к промежуточным линиям, можно записать W_i=Cⁱ_naⁱ( 1 –а)^п-i; Н_(т–i)q=с^(т-i)q. Подставляя значения этих вероятностей в (9.1), получаем

Учитывая формулу бинома Ньютона, получаем окончательное выражение для потерь:

Если, сохранив распределение Бернулли для промежуточных линий, принять распределение Эрланга для выходов, то для вероятности потерь в данном случае может быть получено выражение

Рассмотренные выше схемы относятся к случаю односвязного двухзвеньевого включения, при котором один коммутатор первого звена соединен с коммутатором второго звена одной промежуточной линией. При наличии f соединительных путей между парой коммутаторов первого и второго звеньев многосвязная двухзвеньевая схема будет иметь вид, показанный на рис. 9.2.

Для многосвязных двузвеньевых схем в соответствии с комбинаторным методом считаются справедливыми все полученные выше формулы, если а заменить на a^f, a b заменить на b^f.

9.5. Двухзвеньевые неполнодоступные схемы

В парагр. 9.1–9.4 рассматривались двухзвенъевые схемы, у которых число соединительных устройств u, требуемых для обслуживания телефонной нагрузки в каком-то направлении, не превышало числа mq, т. е. числа выходов, отводимых в схеме для рассматриваемого направления (максимальная доступность). Однако если приведенные в предыдущем параграфе схемы рассматривать как схемы отдельных блоков искания, то может оказаться, что для целой ступени искания, содержащей несколько указанных блоков, в данном направлении требуется такое число выходов для включения приборов последующей ступени искания, которое превышает число выходов, отведенных для этого направления в каждом блоке. В этом случае приборы последующей ступени искания включаются неполнодоступным пучком по отношению к выходам каждого блока в отдельности.

На рис. 9.3 приведена двухзвеньевая неполнодоступная схема, содержащая g двухзвеньевых схем (блоков), из которых показана первая и последняя. Если число выходов из каждого блока равно mq, а число таких блоков g, то из общего числа выходов всех блоков, равного gmq, путем запараллеливаний получают число v выходов, необходимое для включения приборов последующей ступени искания. При этом справедливо следующее неравенство: mq< u <gmq. Из uвыходов к последующей ступени искания любому входу в любой блок искания доступны только mq выходов.

Комбинаторный метод Якобеуса для расчета числа соединительных устройств в таких двухзвеньевых неполнодоступных схемах основывается на идее О'Делла, изложенной в гл. 8. Эта идея заключается в том, что средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой каждым соединительным устройством при неполнодоступном однозвеньевом включении в пучке из v таких устройств, обслуживающих интенсивность поступающей нагрузки у при доступности d с потерями р, принимается лежащей в промежутке между минимальным значением у_d/d, где y_d определяется из соотношения

и максимальным значением Минимальное значение средней пропускной способности определяется для случая u =d. В данном случае неполнодоступное включение превращается в полнодоступное и при потерях р пучок в d соединительных устройств обслужит нагрузку, которую при малых потерях можно приближенно принять равной y_d в соответствии с формулой Эрланга (9.14) для полнодоступного включения.

Максимальное значение пропускной способности определяется из формулы Эрланга для ступенчатого включения, имеющей вид

где у» y _о – нагрузка, обслуживаемая пучком uприборов при ступенчатом включении с доступностью d и потерях р. Каждый прибор может обслужить в среднем нагрузку, определяемую (9.15), лишь в случае бесконечно большого числа uприборов в пучке. В соответствии с идеей О'Делла из всех v соединительных устройств пучка при ступенчатом включении каждый из d приборов обслуживает среднюю нагрузку, равную y_d/d, а остальные u –d приборов обслуживают каждый в среднем

Тогда при малой величине потерь число соединительных устройств в пучке ступенчатого включения с доступностью d, обслуживающем интенсивность поступающей нагрузки у, определится из формулы О'Делла:

Если для двухзвеньевого неполнодоступного включения (см. рис. 9.3) применить тот же ход рассуждений, что и для неполнодоступного однозвеньевого включения, то минимальное значение средней пропускной способности будет в том случае, когда u = mq, т. е. когда общее число выходов будет равно числу выходов, доступных каждому входу. В этом случае двухзвеньевая неполнодоступная схема превращается в двухзвеньевую полнодоступную схему и пропускаемая нагрузка y_d=y_mq будет определяться из формул, полученных в предыдущем параграфе.

Для случая отсутствия сжатия и расширения (п=т) распределения Бернулли для промежуточных линий и распределения Эрланга для выходов справедлива ф-ла (9.9), в соответствии с которой у_тq определится из выражения

Выходы двухзвеньевой неполнодоступной схемы достигнут максимального значения средней пропускной способности в том случае, когда число выходов uбудет велико. В этом случае при расчете схемы следует принимать распределение Бернулли и для промежуточных линий и для выходов. Тогда с_тах определится из следующего соотношения:

полученного на основании (9.8).

Следовательно, в соответствии с идеей О'Делла средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой каждым из mq выходов в двухзвеньевой неполнодоступной схеме, имеющей uвыходов, будет равна y_mq/mq, где y_mq определяется (9.19). Остальные u –mq выходов пропустят каждый в среднем с_тах нагрузки, значение которой определится (9.20).

Таким образом, число выходов uпри двухзвеньевом неполнодоступном включении, которое необходимо для обслуживания нагрузки у с потерями р, определится по аналогии с соотношением (9.16) из следующего уравнения:

где y_mq и с_тах определяются (9.19) и (9.20).

Если ввести обозначение u_o =mq–y_mq/c_max, то для расчета числа выходов в схеме при отсутствии концентрации и расширения для q³1 получим следующую систему уравнений:

В этих уравнениях: u – число выходов двухзвеньевой неполнодоступной схемы в рассматриваемом направлении (число соединительных устройств последующей ступени искания); у – интенсивность поступающей нагрузки на все uвыходов рассматриваемого направления; mq – максимальное число выходов, доступных любому входу; b – средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой одной промежуточной линией; р – допустимые потери; y_mq – интенсивность нагрузки, поступающей на mq выходов при величине потерь р, определяемой (9.19); с_тах – предельная пропускная способность выхода при неограниченном числе выходов, определяемая (9.20).

Дата добавления: 2014-11-29