Корреляционный анализ

При исследовании стохастических связей возникают следующие вопросы:

1. Существует ли связь между случайными величинами y и x?

2. Какова сила этой связи?

3. Какую форму имеет связь, т. е. является она линейной или нелинейной (криволинейной)?

Эти вопросы рассматриваются теорией корреляции, являющейся одним из важных разделов математической статистики.

Пример.

Проведены испытания на стойкость 45-ти сверл диаметром 28 мм от величины заднего угла [1]. Результаты испытаний приведены в табл. 1.

Следует установить наличие связи между стойкостью y и величиной заднего угла x, силу и форму этой связи.

Таблица 1

Результаты испытаний сверл на стойкость

Задний угол x, град.	Стойкость y, мин	Количество сверл, шт.
	127, 105
	184, 175, 162, 428, 417
	39, 480, 392
	615, 392, 1038, 435, 341, 417, 555, 300, 278, 289, 376, 337, 450, 525, 293, 310, 57, 122, 183, 183, 315, 149, 67, 136, 184, 180, 107, 201
	210, 223, 249, 188, 345, 315
				294,33

Анализ результатов предварительно проведенной небольшой серии опытов позволил выдвинуть рабочую гипотезу о том, что связь между стойкостью y и величиной заднего угла x существует и является криволинейной.

Получить ответы на указанные выше вопросы и, следовательно, подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу можно с помощью таких статистических характеристик, как коэффициент корреляции и корреляционное отношение.

Коэффициент корреляции является показателем того, насколько связь между случайными величинами y и x близка к строгой линейной зависимости. С точки зрения наличия связи и формы связи коэффициент корреляции в одинаковой степени характеризует и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность имеющейся связи. Учитывая эти свойства коэффициента корреляции, определение связи между случайными величинами начинают с вычисления его значения, так как даже в случае криволинейной зависимости он характеризует степень приближения корреляционной зависимости к функциональной зависимости и дает ориентировочное представление о тесноте корреляционной связи. Поскольку в исследованиях имеют дело с данными выборки из генеральной совокупности, то вычисляют выборочный коэффициент корреляции r по формуле:

, (1)

где r – коэффициент корреляции величин x и y; x_i и y_i - измеренные значения случайных величин, например фактора x и параметра y изучаемого объекта; и – средние арифметические значения величин x и y; n – число измерений (опытов).

Значения r заключены между -1 и 1.

Расчет по данным табл. 1 коэффициента корреляции дает результат , что указывает о возможности принятия выдвинутой гипотезы. Коэффициент корреляции оценивает тесноту только линейной корреляционной связи. Оценка тесноты любой корреляционной связи осуществляется с помощью корреляционного отношения.

Выборочное корреляционное отношение – это отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению

,

где

; ,

в которых m – число выделенных групп результатов испытаний.

Значения η заключены между 0 и 1. В частности, для приведенных данных исследования зависимости между стойкостью y и величиной заднего угла x корреляционное отношение η=0,25.

Корреляционное отношение является мерой тесноты любой, в том числе и линейной, формы. Вместе с тем корреляционное отношение не позволяет судить, насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой определенного типа, например к параболе, гиперболе и т. д. Это объясняется тем, что при определении корреляционного отношения вид корреляционной зависимости между y и x во внимание не принимается.

Основные свойства коэффициента корреляции и корреляционного отношения [4].

1. Если коэффициент корреляции r = ±1, то y и x связаны линейной связью вида y = a + bx.

2. Если r = 0, то между y и x не может существовать прямолинейная связь, но криволинейная возможна.

3. Чем ближе значение r к ± 1, тем точнее и теснее корреляционная прямолинейная связь между y и x. Она ослабевает с приближением r к нулю.

4. Если корреляционное отношение η = 0, то между y и x нет корреляционной связи.

5. Если η = 1, то y связано с x однозначной (детерминированной) связью, т. е. всякому значению x соответствует одно определенное значение y.

6. Чем ближе η к единице, тем теснее связь y с x; чем ближе η к нулю, тем эта связь слабее.

В заключение отметим, что теория корреляции позволяет:

1. Установить форму корреляционной связи, т. е. вид корреляционной зависимости между y и x (линейная или нелинейная).

2. Оценить силу (тесноту) корреляционной связи. За критерий оценки принимается величина рассеяния значений y вокруг условного среднего . Так, если при малом рассеянии мы имеем корреляционную связь значительной силы до предела, когда y и x связаны функционально, то при большом рассеянии зависимость y от x выражена слабо, вплоть до ее полного отсутствия вообще.

Дата добавления: 2014-12-07