Частотный критерий устойчивости Михайлова

Пример

Оценить устойчивость системы управления, передаточная функция которой

.

Характеристический многочлен системы

поэтому определитель Гурвица

Вычисляя миноры определителя, получаем

,

Отсюда следует, что рассматриваемая система не устойчива.

Частотный критерий устойчивости Михайлова основан на построении годографа A (jw)

Представляя его в виде суммы вещественной и мнимой составляющих, имеем

Задаваясь значением начиная с точки =0, вычисляем и откладываем значения и . Совокупность этих точек, соединенная плавной кривой, образует годограф Михайлова (рис.).

Критерий устойчивости Михайлова формулируется следующим образом: система автоматического управления устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь при w =0 на вещественной положительной полуоси, последовательно обходит n квадрантов координатной плоскости против часовой стрелки, где n - порядок системы.

Пример

Построим годограф Михайлова для системы с передаточной функцией

.

Производится замена оператора Лапласа s на комплексную переменную j×w и группируются слагаемые по степеням w.

Составляющие вектора A (jw)= X (w)+ j × Y (w) имеют вид

Найти частоты, соответствующие пересечениям годографа с осями координат. Для этого необходимо найти решения отдельных уравнений:

Результаты расчета приведены в таблице ниже.

Таблица

Частота w	Значения вещественной части характеристического многочлена X (w)	Значения мнимой части характеристического многочлена Y (w)
	1,0
0,4		0,29
0,6	-0,86
2,42		-25
2,79

Из таблицы следует, что годограф последовательно обходит пять квадрантов, поэтому исследуемая система устойчива.

Рис. Годограф Михайлова

Построение весовой функции w (t) тоже свидетельствует об устойчивости исследуемой системы, весовая функция w (t) стремится к 0.

Рис. График весовой функции w (t)

Дата добавления: 2014-12-07