Математическое отображение реальности

Роль иерархии в познании и управлении

Гл.7, п. «Выращивание информации»

Лем отмечает, что иерархическая система правил – это то, что позволяет управлять системами. Если бы мозгу требовалось управлять движением каждого атома тела, живые существа были бы невозможны. Но он не управляет не только каждым атомом, но даже и каждой клеткой, предоставляя им свободу в рамках определенных правил. Эти правила делят переменные на существенные и несущественные. Не важно, в какой орган попадет отдельно взятый скушанный с яблоком атом углерода – важно, чтобы сердце качало кровь, почки ее фильтровали, и т.п. Аналогично, если бы для построения, скажем, модели текущей жидкости требовалось учесть путь каждой молекулы, ни один инженер не создал бы водопровода. Здесь физик опять-таки вводит набор существенных макроскопических переменных, а на различие микросостояний не обращает внимания. Отбрасывание несущественных переменных – фундаментальная задача, так как увеличение числа переменных быстро ведет к комбинаторному взрыву.

Под существенными переменными понимается минимальный набор переменных, достаточный для того, чтобы отвечать на поставленные исследователем вопросы. Например, для не слишком плотного и холодного газа знания любых двух переменных из набора «концентрация, давление, температура» достаточно для того, чтобы узнать третий. Связь между ними выражается уравнением Менделеева-Клапейрона. Оказалось, что это уравнение применимо независимо от состава газа и других факторов, но лишь до определенного нижнего предела по температуре и верхнего – по плотности. Выявленный набор существенных переменных, установленные законов связи между ними и установленный класс объектов, для которых эти законы выполняются – это, по Лему, и есть теория. Модель, пригодную для данного и никакого другого объекта, Лем именовать теорией отказывается. И то правда, такие модели очень неэкономичны.

В рамках рассуждений об иерархии в управлении Лем указывает на кибернетическую необходимость разграничения функций между ступенями иерархии (биохимическая регулировка в рамках отдельной клетки, спинномозговые рефлексы, неосознаваемые рефлексы головного мозга, подсознание, сознание) с тем, чтобы на каждом уровне оказывалось число переменных, поддающееся управлению.

По поводу соотношения математики и законов природы Лем повторяет старую метафору, что математика – безумный портной, шьющий всевозможные костюмы, лишь некоторые из коих оказываются впору хоть какому-то существу. При этом он опирается на очевидный факт, что подавляющее большинство областей математики на сегодняшний день не нашло приложений в естественных науках. На старый философский вопрос, является ли каждая математическая теорема отображением какого-либо закона природы или нет, Лем неявно отвечает «нет» – во всяком случае, насколько можно судить по его утверждению, что математические структуры станут прообразом новых, создаваемых человеком законов природы. Заметим, что это утверждение в последующем тексте не раскрывается, и что Лем подразумевает под созданием закона природы, остается неясным – Авт. Свою позицию он при этом не аргументирует, если не считать аргументом вышеупомянутый факт о неприложимости на сегодняшний день к естественным наукам подавляющего большинства областей математики. Что не является достаточным аргументом, ибо «пока не нашло приложений» не означает «никогда не найдет, ибо не может найти в принципе» – Авт.

Далее Лем рассматривает вопрос о двух принципиально разных видах математических моделей. Применение математических методов в физике, очевидно, происходит так: сначала каждому элементу физического мира ставится во (взаимно однозначное) соответствие математический объект (так, в классической физике постоянной физической величине ставится в соответствие число, переменной – функция), затем производятся математические действия, и их конечный результат переводится обратно на язык физики.

Лем указывает, что при этом возможны две принципиально разные ситуации. Первая – когда каждый промежуточный математический объект, получившийся в результате вычислений, также имеет физический эквивалент (например, эквивалентом производной является скорость). И вторая – когда физическую интерпретацию имеет только конечный ответ. В первом случае можно говорить об изоморфности физической и математической картины явления, о математическом описании его природы. Во втором – только о модели для предсказаний, работающей неизвестно почему. Примеры первого рода нам дает классическая физика, примеры второго рода – квантовая механика, с ее по сей день многими вариантами интерпретации (а уж процедура перенормировки и вовсе, кажется, не имеет никакой интерпретации – Авт.). Возможно ли для каждого природного явления создать математическую модель, а тем более – изоморфную ему математическую модель – вопрос, на который, собственно говоря, нет ответа.

Дата добавления: 2014-12-07