Ряд Маклорена

Степенные ряды

Будем рассматривать ряды, членами которых являются степенные функции:

a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + … + a_n xⁿ + … = . (7)

Такие ряды называются степенными, а числа a_i (i = 0, 1, 2, …) — коэффициентами этого степенного ряда.

Множество тех значений х, при которых степенной ряд (7) сходится, называется областью сходимости этого степенного ряда.

Число R называется радиусом сходимости ряда (7), если при всех х, удовлетворяющих неравенству , ряд (7) сходится, а при всех x, удовлетворяющих неравенству , — расходится.

Радиус сходимости R определяется по формуле

.

Интервал (– R; R) называется интервалом сходимости ряда (7).

При x = R, x = – R ряд (7) может как сходиться, так и расходиться. Вопрос о сходимости ряда (7) в этих точках решается путем дополнительных исследований.

Ряд называется рядом Маклорена для функции f (x).

Приведем следующие известные разложения функций в ряд Маклорена:

1. область сходимости .

2. sinx = область сходимости .

3. область сходимости .

4. область сходимости (–1;1).

5. область сходимости (–1;1].

6. + …, область сходимости
[–1;1].

Дата добавления: 2014-12-08