Финальные вероятности

Обратимся к важной для нас теореме, которая впервые была доказана Марковым.

Теорема: Если цепь характеризуется матрицей перехода , такой, что при некотором все элементы матрицы были отличны от нуля, тогда существует предел матрицы при , причем для всех значений и ( называют финальными или стационарными вероятностями).

В матричной форме это можно записать так:

Финальные вероятности можно найти, решив однородную систему линейных уравнений с неизвестными :

Ищем решение этой системы, отличное от тривиального:

,

которое удовлетворяет условию нормировки .

Пример: На рынке вычислительного оборудования преобладают компактные диски двух марок: A и B. Приблизительно, потребители приобретают новую упаковку дисков один раз в месяц. Статистические исследования показали:

Если в текущем месяце потребитель пользуется дисками марки A, то с вероятностью 0,6 он будет приобретать их и в следующем месяце, а с вероятностью 0,4, в следующем месяце он приобретёт диски марки B.

Если в текущем месяце потребитель пользуется дисками марки B, то с вероятностью 0,7 он будет приобретать их и в следующем месяце, а с вероятностью 0,3 в следующем месяце он приобретёт диски марки A.

Требуется составить прогноз состояния рынка компактных дисков в обозримом будущем.

Решение: Построим математическую модель. Пусть – потребители, приобретающие диски марки A; – потребители, приобретающие диски марки B. Процесс приобретения дисков, описанный в данном примере – это однородная цепь Маркова с матрицей перехода:

.

Покажем динамику переходов системы из одного состояния в другое через 2 и через 3 месяца и вычислим финальные вероятности.

1) Через 2 месяца:

.

2) Через 3 месяца:

.

3) Финальные вероятности:

Ответ: Независимо от нынешнего состояния рынка, если матрица перехода останется равной , будет наблюдаться тенденция к тому, чтобы марка компактных дисков A контролировала рынка, а марка B контролировала .

Заключение

Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности, связанные со спецификой экономических задач, а также с широким разнообразием подходов к их решению. Задачи практической и теоретической экономики очень разносторонни. К ним относятся, в первую очередь, методы сбора и обработки статистической информации, а также оценка состояния и перспективы развития экономических процессов. Применяются различные способы использования полученной информации – от простого логического анализа до составления сложных экономико-математических моделей и разработки математического аппарата их исследования.

Неопределенность экономических процессов, значительный случайный разброс и большой объем получаемой информации обусловливают необходимость привлечения к исследованию экономических задач теории вероятностей и математической статистики. При составлении современных экономико-математических моделей также широко используются аппараты стохастического программирования и матричных игр, оперирующие понятиями и методами теории вероятностей.

Автор надеется, что благодаря и этой книге будущие экономисты освоят современный математический аппарат и в дальнейшем смогут успешно решать свои профессиональные задачи.

Список литературы:

1. ВЕНТЦЕЛЬ Е.С. Теория вероятностей. – М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962.

2. ГМУРМАН В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2009.

3. ГМУРМАН В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа, 2009.

4. КОЛМОГОРОВ А.Н. «Основные понятия теории вероятностей» М.: «Наука», 1974

5. КРАСС М.С., ЧУПРЫНОВ Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: Дело, 2002.

6. Общий курс высшей математики для экономистов под редакцией проф. В.И. ЕРМАКОВА – М.: ИНФРА-М, 2010.

7. Сборник задач по высшей математике для экономистов под редакцией проф. В.И. ЕРМАКОВА – М.: ИНФРА-М, 2010.

8. Carlin, B.P. and Louis, T.A. (2008) Bayesian Methods for Data Analysis, Third Edition. Chapman & Hall/CRC.

9. http://ru.science.wikia.com

Сведения об авторе.

Светлана Евгеньевна Игнатова – кандидат экономических наук, доцент кафедры высшей математики СПбГИЭУ. Специалист в области математики, математических методов и моделей в экономике, преподавания математики в высшей школе.

Окончила Математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета по специальности «математика». Защитила кандидатскую диссертацию в 2003 году в СПбГИЭУ. Научные исследования посвящены экономико-математическому моделированию.

Автор более 20 научных и учебно-методических печатных работ.

Дата добавления: 2014-12-27