Интеграл Фурье

Цепи при непериодических (импульсных) воздействиях

При анализе реакции цепи на воздействие импульсных сигналов, а также при расчете переходных процессов (аналогично операторному методу) применяется спектральный (частотный) метод.

Спектральный (частотный) метод дает возможность преобразовать функцию времени f (t) в функцию частоты S (jw), которую называют спектром функции f (t). Это преобразование выполняется с помощью интеграла Фурье (прямого преобразования Фурье)

,

который получают из формулы для ряда Фурье

предельным переходом при стремлении Т к бесконечности. На функцию накладывается ограничение – необходимо, чтобы она была конечна (не бесконечна). Ряд функций не удовлетворяет этому условию.

Для нахождения функций времени f (t) по известному спектру S (jw) используют обратное преобразование Фурье

.

Сравнивая формулы преобразований Лапласа и Фурье, заключаем, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа, т. е.

S (jw) =F (p) _p=jw.

Поэтому рассмотренные формулы соответствия и свойства преобразования Лапласа справедливы и для преобразования Фурье. Так, рассмотренный закон Ома в операторной форме теперь будет иметь вид

.

Знаменатель этого выражения представляет собой комплексное сопротивление цепи, применявшееся для расчета цепей синусоидального тока (в установившемся режиме). В то же время это частотная характеристика двухполюсника, которая может быть получена экспериментально при установившемся режиме работы. Если входной сигнал имеет вид некоторого импульса, то, определив его спектр S (jw) и, зная частотную характеристику двухполюсника Z (jw), можно определить спектр тока I (jw) и потом переходной ток i (t). Аналогично для четырехполюсника, зная передаточную функцию H (jw), можно определить спектр выходного сигнала:

U ₂(jw) =H (jw) S (jw)

и затем определить зависимость выходного сигнала от времени u ₂(t).

Отметим, что спектр функции, передаточная функция и частотная характеристика цепи, как и любая комплексная величина, могут быть представлены в нескольких видах, например:

,

где H (w) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

q (w) – фазочастотная характеристика (ФЧХ);

Дата добавления: 2014-12-27