Отыскание вектора конечной продукции

Для решения второй задачи межотраслевого баланса запишем модель Леонтьева в матричном виде

АХ + Y = Х,

откуда получим выражение (3.9)

Y = (Е – А) × Х.

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А, вектор валовой продукции – Х:

А = , Х =

Определить вектор конечной продукции (рис. 53).

Рис. 53. Расчёт вектора конечной продукции

Смешанная задача межотраслевого баланса

Для решения третьей задачи баланса все отрасли разделим на две группы. К первой группе отнесем отрасли, для которых задан конечный продукт. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = . Ко второй группе отнесем отрасли, для которых задан валовой выпуск. Множество номеров этих отраслей обозначим индексами i, j = = . Тогда вектор валовых выпусков можно разделить на два подвектора

Х = , (3.11)

где Х₁ – искомый подвектор с элементами Х_i(i = );

- заданный подвектор с элементами Х_i(i = ).

Аналогично вектор конечного продукта можно разделить на два подвектора

Y = , (3.12)

где – подвектор с известными значениями Y_i(i = );

Y₂ - подвектор с неизвестными значениями

Y_i(i = ).

Матрица А разбивается на четыре подматрицы

А = , (3.13)

где А₁₁ – подматрица с элементами а_ij (i, j = );

А₁₂ – подматрица с элементами а_ij (i = ; j = );

А₂₁ – подматрица с элементами а_ij (i = ; j = );

А₂₂ – подматрица с элементами а_ij (i, j = ).

Для нахождения неизвестных подвекторов Х₁ и Y ₂, зная А, , , представим модель Леонтьева в следующем виде:

× + = . (3.14)

Раскроем это выражение

А₁₁Х₁+А₁₂ + = Х₁ (3.15)

А₂₁Х₁+А₂₂ +Y₂= .

Из первого уравнения этой системы найдем

Х ₁ = (Е – А₁₁)^-1 × (А₁₂ + ). (3.16)

Из второго уравнения найдем

Y ₂ = (Е – А₂₂) × - А₂₁ Х ₁ . (3.17)

Найдя из выражения (3.16) Х ₁ и подставив в выражение (3.17), получим Y ₂.

Пример. Три отрасли выпускают продукцию, причем нормы затрат ресурсов заданы матрицей А:

А = .

Конечный продукт первой отрасли равен 8 ед., объем производства второй отрасли равен 10 ед., а третьей – 15 ед. Определить объем производства первой отрасли и конечный продукт второй и третьей.

Решение. Согласно изложенному ранее первая отрасль входит в первую группу, а вторая и третья – во вторую группу, тогда

Х = , , Y = ,

А₁₁ = (0) А₁₂ = (0,1 0,2)

А₂₁ = А₂₂ = .

Из формулы (16) найдем

Х₁ = (1 - 0)^-1 × [(0,1 0,2) × + 8] = 12

Из формулы (3.17) найдем

Y₂ = × - × 12 = .

Таким образом, валовой выпуск первой отрасли равен 12 ед., конечный продукт второй и третьей равен 3,1 ед. и 9,8 ед. соответственно.

Дата добавления: 2014-12-27