Транспортного типа

На трех складах оптовой базы имеется груз в количествах соответственно 40, 80, 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина, каждый из которых заявил соответственно на 70, 20, 60 и 60 единиц. Стоимость доставки единицы груза (тарифы) из каждого склада А_i во все магазины В_j представляется матрицей:

5 4 2 1

C = 4 3 2 3 i

4 3 3 6

1 опорный план j

9 10 22 8 7 100

12 6 15 12 8 35

10 11 8 5 9 100

7 9 6 4 5 130

80 40 80 90 90

Составить оптимальный план перевозок грузов с минимальными транспортными затратами.

Решение:

1) Проверяем условия разрешимости задачи

₃

å a_{i =} 40+80+80=200

_I=1

₄

å b_j =70+20+60+60=210

_j=1

Суммарная потребность в грузе превышает его запасы на 210-200=10 единиц. Для получения закрытой модели введем дополнительный (фиктивный) склад А₄ с запасом груза равным a₄₌10 единиц с нулевым тарифом перевозок.

1. Формирование первого опорного плана (10П) методом минимальной стоимости.

10П ( 1 опорный план)

Vi Uj		V1 -16	V2-15	V3-O5	V4-12	Запасы аi
	Ai Bj	B1	B2	B3	B4
U1	A1		0			40
U2 -24	A2		-3		3
U3 -53	A3		3		- 6
U4 13	A4		0			(10)
Потребности BJ

Расклад груза по клеткам:

1) C_min=C₁₄=1 сюда весь груз а₁=40

Остальные клетки А_i обнуляем.

2) Следующая C_min =C_2/3=20 Сюда полностью потребность b₃=60 Оставшиеся 80-60=20 запишем требующиеся b₂=20

3)Окончательно формируем столбец В_4, т.е. в клетку 44 вносим дефицит А₄=10 и в клетку 34 недостающие А₃=10.

4)Остался столбец В₁ с клеткой А₃, в которую записываем требующиеся в В₁=70

Для оценки рентабельности полученного опорного плана перевозок. 10П применим метод “потенциалов” занятых клеток: разность “потенциалов” должна быть меньше расценки, т.е. V - U C или в свободных V -U -C 0.Так как при балансе – всё “закольцовано“, поэтому всё равно откуда начать проверки и заполнения всех потенциалов. Принято начинать с” северо-восточного узла “, задавший исходной любой цифрой, например, нулём.

1) U =0. Остальные находим из условия баланса V -U =C .

2) В строке U заполнения столбец V , поэтому V =C +U =1+0=1

3) Зная V можно определить в этом столбце U и U .

-U =C -V =6-1=5; U =-5

-U =C -V =0-1=-1; U =1

4) Чтобы перейти к следующей строке (U ) воспользуемся промежуточно-пустым известным столбцом (V ). C =3.

Т.о. -U =C -V =3-1=2; U =-2

5) Теперь, зная U , определим в этой строке V и V .

V =C +U =3-2=1

V =C +U =2-2=0

6) Зная U =-5(см.п3) определим для занятой клетки 31 (С =4) значение V =C +U =4-5=-1. Определяем резервы в незанятых клетках.

Баланс д.б. <0 и резерв там, где он >0 (!)

7) Для клетки 11.

V -U -C =-1-0-5= -6<0

8) Для клетки 12.

V -U -C =1-0-4=-3<0

9) Для клетки 13

V₃ - U₁ – C₁₃ =0-0–2=-2<0

10) Для клетки 21

V₁ – U₂ – C₂₁ =-1+2-4=-3<0

11) Для клетки 24

V₄ – U₂ – C₂₄ =1+2-3=0

12) Для клетки 32

V₂ – U₃ – C₃₂ =1+5-3= +3>0 (!!!)

13) Для клетки 33

V₃ – U₃ – C₃₃ =0+5-3= +2>0

14) Для клетки 41

V₁ – U₄ – C₄₁ =-1-1-0=-2<0

15) Для клетки 42

V₂– U₄ – C₄₂ =1-1-0=0

16) Для клетки 43

V₃ – U₄ – C₄₃ = 0-1-0=-1<0

Получаем резервы(>0) в клетках 32 и 33

(п.п.12 и 13).Однако больше в клетке 32

Формирование второго опорного плана (20П)

Осуществляем перемещением грузов по следующему правилу:

Строим исходный многоугольник, в одной из вершин которого стоит клетка 32.Против нее ставим +, что значит перенесение сюда груза. Затем по периметру многоугольника поочередно в углах ставим – и +, считая начало + с клетки 32.В соответствии со знаками перемещаем грузы, сохраняя балансы по строчкам и столбцам.

1ОП 2ОП

	20П (2опорный план)
Vj Ui		V126	V213	V304	V411	Запасы   ai
	Bj Ai	B1	B2	B3	B4
U1 01	A1
U2 -22	A2	4	3 10 -		3
U3 -25	A3	-4	3
U4 17	A4	0			-0
Потребности bj

Повторяем туже работу с 20П, что и с 10П (можно бы было работать только с изменными клетками 22, 24, 32 и 34, а так же с теми потенциалами, которые от них зависят через C_ij, но лучше – слошь, пусть с повторами, чтобы не пропустить):

Занятые клетки

1) Кл. 14 неизменно V₄=1

2) Кл. 24 - U₂ = C₂₄ – V₄ =3 – 1 = 2; U₂= -2

3) Кл. 22 V₂ = C₂₂ + U₂ = 3 – 2 = 1

4) Кл. 23 неизменно V₃ = 0

5)Кл.32 → -U₃=C₃₂-V₂=3-1=2; U₃=-2 (было -5)

6)Кл.31 → V₁=C₃₁+U₃=4-2=2; V₁=2 (было -1)

7)Кл.44 → неизменно U₄=1

Резервы свободных:

8)Кл.11 → V₁ -U₁-C₁₁ =2-0-5=-3<0

9)Кл.12 → V₂ -U₁-C₁₂ =1-0-4=-3<0

10)Кл.13 →V₃ -U₁-C₁₃ =0-0-2=-2<0

11)Кл.21 → V₁ –U₂-C₂₁ =2+2-4=0

12)Кл.33 → V₃ –U₃-C₃₃ =0+2-3=-1<0

13)Кл.34 → V₄ –U₃-C₃₄ =1+2-6=-3<0

14)Кл.41 → V₁ –U₄-C₄₁ =2-1-0= 1>0

15)Кл.42 → V₂ –U₄-C₄₂ =1-1-0=0

16)Кл.43 → V₃ –U₄-C₄₃ =0-1-0=-1<0

Т.о. исходный многоугольник с исходным углом в Кл.41 и знаком , а чередование знаков должно замкнуться, то углов д.б. четное количество.

3)Формирование третьего опорного плана (30П)

Для занятых клеток:

1) Кл.14 → неизменно V₄ =1

2) Кл.24 → -U₂=C₂₄ – V₄=-3-1=2; U₂=-2

3) Кл.23 →V₃ = C₂₃ +U₂- =2-2=0; V₃=0

			зоп (3опорный план)
U1 Vj		V1 15	V2 O5	V3 O3	V4 14	Запасы
	Ai Bj	В1	В2	В3	В4	ai
U1 O	А1		0		40
U2 -22	А2		-3		3
U3 -34	А3	-4	3
U4 17	А4	0 10			-0
Потребности
bj

4) Кл.33→ -U₃=C₃₃-V₃=3-0=3; U₃= -3

5) Кл.31→ V₁=C₃₁=U₃=4-3=1; V₁=1

6) Кл.32→ V₂=C₃₂+U₃=3-3=0; V₂=0

7) Кл.41→-U₄=C₄₁-V₁=0-1= -1; U₄=1

Для незанятых:

8) Кл.11→V₁-U₁-C₁₁=1-0-5= -4<0

9) Кл.12→V₂-U₁-C₁₂=0-0-4= -4<0

10) Кл.13→V₃-U₁-C₁₃=0-0-2= -2<0

11) Кл.21→V₁-U₂-C₂₁=1+2-4= -1<0

12) Кл.22→V₂-U₂-C₂₂=0+2-3= -1<0

13) Кл.33→V₃-U₃-C₃₃=0+3-3=0

14) Кл.34→V₄-U₃-C₃₄=1+3-6= -2<0

15) Кл.42→V₂-U₄-C₄₂=0-1-0= -1<0

16) Кл.43→V₃-U₄-C₄₃=0-1-0= -1<0

17) Кл.44→V₄-U₄-C₄₄=1-1-0=0

ЗОП является оптимальным, т.к. все оценки резервов £ 0

Анализ работы с опорными планами:

1ОП Y(x)=

2ОП Y(x)=

3ОП Y(x)=

Анализ полученного ЗОП.

Для минимизации транспортных расходов до Y_min=520 необходимо:

1)С I склада А₁ весь груз 40ед. направить в IV магазин B₄

2)Cо II склада А₂ 60 ед. отвезти в III магазин и 20 ед. отвезти в IV магазин В₄

3)С III склада А₃ 60 ед. отвезти в I магазин В₁ и 20 ед. отвезти во II магазин В₂

4)Весь груз будет развезен, но I магазин недополучит 10 ед. (дефицит).

Задача № 4/4.

Эластичность функции

Статистикой установлено, что цена на товар P зависит от его количества Q

P=300-Q²

Определить, при каком его количестве он становится неэластичного спроса.

Решение

Введение:

Эластичность спроса от цены

E_д =

При Eд>1 (товар эластичного спроса) – понижение цены на 1% соответствует повышению спроса более, чем на 1% и наоборот. При E_д<1 (товар эластичного спроса) - понижение цены на 1% влечет за собой повышение спроса менее, чем на 1% и наоборот.

По определению

Неэластичный спрос при

Q > 10

Литература

1. Высшая математика для экономистов. Под редакцией Н.Ш. Кремера. М. 2002г.

2. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании. М. 2001г.

3. В. П. Малыхин. Математика в экономике. М. 1999г.

4. А. Н. Колесников. Краткий курс математики для экономистов. М. 1997г.

5. В.Н. Грицан, В. В. Рятина. Математика. Методические указания по выполнению контрольных работ. М. 2001

6. М.М. Ермилов, П.С. Казей, Б.И. Олейников, В.А. Сердюков Математика. Методические рекомендации по выполнению контрольных работ. М. 2001

1. В.В. Смирнова. Математика. Типовые расчеты по «Линейному и динамическому программированию». М. 1998г.

Дата добавления: 2014-12-27