КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Теоретические сведения
1.1. Выборка. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма. В математической статистике имеют дело со стохастическими экспериментами, состоящими в проведении повторных независимых наблюдений над некоторой случайной величиной , имеющей неизвестное распределение вероятностей, т.е. неизвестную функцию распределения Основная задача математической статистики состоит в том, как по выборке , извлекая из нее максимум информации, сделать обоснованные выводы относительно вероятностных характеристик наблюдаемой случайной величины . Замечание: Выборка является исходной информацией для статистического анализа и принятия решений о неизвестных вероятностных характеристиках наблюдаемой случайной величины . Однако на основе конкретной выборки обосновать качество статистических выводов принципиально невозможно. Для этого на выборку следует смотреть априорно как на случайный вектор , координаты которого являются независимыми, распределенными так же как и , случайными величинами, и который еще не принял конкретного значения в результате эксперимента. Переход от выборки конкретной к выборке случайной будет неоднократно использоваться далее при решении теоретических вопросов и задач для получения выводов, справедливых для любой выборки из генеральной совокупности.
В зависимости от дальнейших целей существует несколько способов представления статистических данных. Простейший из них - в виде статистического ряда:
Если среди выборочных значений имеются совпадающие, то статистический ряд удобнее записывать в виде таблицы, называемой таблицей частот:
где - различные значения среди ; - частота значения ; - относительная частота значения . Очевидно, что . Поэтому совокупность пар называют эмпирическим законом распределения. Выборочные значения , упорядоченные по возрастанию, носят название вариационного ряда: , где , . Величина называется размахом выборки. Эмпирической функцией распределения, соответствующей выборке , где - индикатор множества , а - число выборочных значений, не превосходящих . Для заданной выборки эмпирическая функция распределения обладает всеми свойствами обычной функции распределения: принимает значения между 0 и 1, является неубывающей и непрерывной слева. График имеет ступенчатый вид, причем: если все значения различны, то при , , ; если - различные значения среди , то . Принципиальное отличие эмпирической функции распределения от обычной функции распределения состоит в том, что она может изменяться от выборки к выборке и притом случайным образом. Важнейшим свойством эмпирической функции распределения как случайной функции (см. замечание выше) является то, что она для любого при увеличении объема выборки сближается (в смысле сходимости по вероятности) с истинной функцией распределения . Поэтому говорят, что эмпирическая функция распределения является статистическим аналогом (оценкой) неизвестной функции распределения , которую называют при этом теоретической.
Если - выборка объема из генеральной совокупности, имеющей непрерывное распределение с неизвестной плотностью вероятностей , то для получения статистического аналога следует предварительно произвести группировку данных. Она состоит в следующем: 1. По данной выборке строят вариационный ряд . 2. Промежуток разбивают точками на непересекающихся интервалов (на практике ). 3. Подсчитывают частоты попадания выборочных значений в -ый интервал . 4. Полученную информацию заносят в следующую таблицу, которую называют интервальным статистическим рядом:
Очевидно, что . Поэтому совокупность пар , где - середина интервала , называют эмпирическим законом распределения, полученным по сгруппированным данным. Далее в прямоугольной системе координат на каждом интервале как на основании длиной строят прямоугольник с высотой . Получаемую при этом ступенчатую фигуру называют гистограммой. Поскольку при больших в соответствии с теоремой Бернулли , где - истинная вероятность попадания случайной величины в интервал , а , то справедливо приближенное равенство . Поэтому верхняя граница гистограммы является статистическим аналогом (оценкой) неизвестной плотности вероятностей . На практике при группировке данных обычно берут интервалы одинаковой длины соnst, а число интервалов группировки определяют с помощью, так называемого, правила Стургерса, согласно которому полагается . Ломаная с вершинами в точках называется полигоном частот и для гладких плотностей является более точной оценкой, чем гистограмма. Пример гистограммы и полигона частот приведен на рис.1.
Рис. 1. Гистограмма и полигон частот Пусть - выборка из генеральной совокупности, имеющей функцию распределения . Аналогично тому, как теоретической функции распределения ставят в соответствие эмпирическую функцию распределения , любой теоретической характеристике можно поставить в соответствие ее статистический аналог - выборочную (эмпирическую) числовую характеристику g*, определяемую как среднее арифметическое значений функции g (х) для элементов выборки :
. В частности, выборочный начальный момент -го порядка есть величина . При k = 1 величину называют выборочным средним и обозначают : . Выборочный центральный момент -го порядка есть величина . При величину называют выборочной дисперсией и обозначают : . Между выборочными начальными и выборочными центральными моментами сохраняются те же соотношения, что и между теоретическими. Например, справедливо равенство , являющееся аналогом известного равенства . Являясь для заданной выборки числами, в общем случае выборочные числовые характеристики являются случайными величинами и обозначаются соответствующими заглавными буквами: ; ; ; ; . В связи с этим можно ставить вопрос о нахождении закона распределения выборочных числовых характеристик и их числовых характеристиках. Располагая только сгруппированными данными, можно определить аналог эмпирической функции распределения следующим образом: . Для вычисления выборочных моментов -го порядка по сгруппированным данным используются формулы: . В частности, выборочное среднее и выборочная дисперсия по сгруппированным данным определяются с помощью формул: .
Дата добавления: 2014-12-27; Просмотров: 1138; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |