Тройные интегралы

Пусть функция u=f (x, y, z) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области T пространства O_xyz. Разобьем область T произвольным образом на n областей V ₁, V ₂,…, V_n, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через объем, а через диаметр i- ойэлементарной области (i= 1,…, n), . Составим выражение

, (7)

которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f (x, y, z) по области T. Заметим, что выражение (7) зависит от способа разбиения области T на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (7) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области T на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется тройным интегралом от функции u=f (x, y, z) по области T и обозначается

Таким образом,

(8)

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область T ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и с боков прямой цилиндрической поверхностью; проекцией области T на плоскость O_xy является область D (рис. 6). Такую область назовем правильной в направлении оси Oz.

Рис. 6

Пусть функция u=f (x, y, z) определена и интегрируема в области T и для любых точек существует интеграл

.

Тогда существует интеграл

и справедлива формула

(9)

Аналогичные формулы справедливы и в случае, когда область T правильная в направлении оси Ox или оси Oy.

Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть выполняются следующие условия:

1) функции x=x (u, v, w), y=y (u, v, w) и z=z (u, v, w) таковы, что каждой точке с координатами (x, y, z) из области T соответствует единственная точка с координатами (u, v, w) из области T ₁ и наоборот;

2) функции x=x (u, v, w), y=y (u, v, w) и z=z (u, v, w) имеют непрерывные частные производные по переменным u, v и w;

3) функция u=f (x, y, z) определена и интегрируема в области T.

Тогда справедлива формула:

, (10)

где

- якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для тройного интеграла являются цилиндрические и сферические координаты.

1) В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где и - полярные координаты проекции точки M на координатную плоскость O_xy, z – аппликата точки M (рис.7).

Рис. 7

Имеют место формулы:

,

якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен и формула (10) принимает вид:

(11)

2) В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где - расстояние от начала координат до точки M, - угол между проекцией радиус-вектора точки M на плоскость O_xy и осью Ox, - угол между радиус-вектором точки M и осью Oz (рис.8).

Рис. 8

Имеют место формулы:

,

якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен и формула (10) принимает вид:

(12)

Задание 1. Вычислить интеграл:

,

где T - тетраэдр, ограниченный плоскостями: x+y+z =1, x= 0, y= 0, z= 0.

Решение. Изобразим область интегрирования (рис.9).

Область интегрирования ограничена снизу плоскостью z= 0, сверху плоскостью z= 1 -x-y, по бокам плоскостями x= 0 и y= 0. Проекцией области T на плоскость O_xy является область D - треугольник OAB. По формуле (9) имеем:

.

Рис. 9

Записывая двойной интеграл по области D через повторный интеграл, получим:

И, наконец, вычислим полученный повторный интеграл:

.

Задание 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Изобразим область интегрирования (рис.10).

Рис. 10

Положим

и применим формулу (11). Так как , то

Задание 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Область интегрирования T есть полушар (рис.11).

Рис. 11

Найдем пределы изменения сферических координат для области T ₁:

Следовательно, по формуле (12) имеем:

.

Вычислив полученный тройной интеграл, получим:

.

Дата добавления: 2014-12-27