Методы Крыловского типа

Выбор структуры разреженности

Поскольку предобусловливание является способом уменьшения количества арифметических операций при итерационном решении СЛАУ, за счет улучшения сходимости, следовательно, выбор структуры (портрета) разреженности матрицы предобусловливания является одной из важнейших практических задач. Одной из простейших стратегий является выбор заранее известной структуры (структурная предфильтрация), например, ленточной или блочно-диагональной т.е. элементы матрицы М совпадают с ленточной (блочно-диагональной) частью матрицы А, и равны нулю вне данной структуры. Данная предфильтрация характеризуется шириной ленты (k) (размером блока). Другой более часто используемой стратегией является динамическое определение структуры разреженности, основанное на некотором пороге (алгебраическая предфильтрация). Алгебраическая предфильтрация заключается в нахождении определенного порога, с помощью которого происходит отбрасывание (обнуление) малозначащих элементов путем сравнения модуля каждого элемента со значением полученного порога.

Упомянутый порог обнуления, в свою очередь, может быть получен многими способами. В данной версии системы реализована следующие стратегии

mij = 0, если | aij | < e i = || ai* ||2^. t,

которая основана на построчном нахождении евклидовой нормы строки далее умножением полученного значения на значение задаваемой точности обнуления (t) получим, собственно, значение порога (e _i) для определения элементов матрицы М соответствующей строки. Далее следует перейти к следующей строке и осуществить вышеописанные действия, для текущей строки. Процесс закончится, когда все строки будут обработаны подобным образом. Таким образом, при таком подходе, порог обнуления является своим для каждой строки. Также реализовано еще два подхода. Первый способ аналогичен вышеописанному, только вместо строк обрабатываются столбцы матрицы

mij = 0, если | aij | < e j = || a*j ||2^. t.

Второй способ является более глобальным, поскольку порог обнуления, при таком подходе, является одним для всех элементов матрицы, т.е. первоначально вычисляется, евклидова норма матрицы далее, как и ранее умножением полученного значения на значение задаваемой точности получим искомый порог обнуления (e).

Ранее был построен класс проекционных методов, основой которых служит условие Петрова-Галеркина (2.13) и формула (2.16). Далее были приведены примеры построения нескольких методов для достаточно простого случая одномерных подпространств K и L. Однако выбор m =1, как правило, дает медленную сходимость, и соответствующие методы оказываются пригодными лишь для СЛАУ небольшой размерности. В настоящее время широкое распространение получили проекционные методы, которые в качестве K используют описанные ранее подпространства Крылова размерности больше единицы. Такие методы называются методами крыловского типа.

Дата добавления: 2014-12-27