Квадратичный метод сопряженных градиентов

Еще одним итерационным методом решения СЛАУ с несимметричными матрицами является квадратичный метод сопряженных градиентов (CGS). Данный метод строится, используя соотношение r _m =p _m (A ^T) ⁽⁰⁾. Часто данный метод характеризуется повышением скорости решения в два раза по сравнению с методом BiCG.

Далее приведен алгоритм метода CGS.

Алгоритм метода CGS

Если необходимо построить матрицу предобусловливателя M

Выбрать начальное приближение x⁽⁰⁾

r⁽⁰⁾ = b – A x⁽⁰⁾

Выбрать вектор , удовлетворяющий условию (r⁽⁰⁾, ) ¹ 0 (например, = r⁽⁰⁾)

Для i = 1, 2, … до сходимости или до N_it^max

r _{i –1}= (, r^{( i – 1)})

Если r _{i –1}= 0

то метод не может решить данную систему

Если i = 1

u⁽¹⁾ = r⁽⁰⁾

p⁽¹⁾ = u⁽¹⁾

Иначе

b _{i –1} = (r _{i –1} / r _{i –2})

u⁽ⁱ⁾ = r^{(i –1)} + b _{i –1}q^{( i –1)}

p⁽ⁱ⁾ = u⁽ⁱ⁾ + b _{i –1}(q^{( i –1)} + b _{i –1}p^{( i –1)})

Найти из системы M = p^{( i )}

= A

a _i = r _{i –1} / (, )

q^{( i )} = u⁽ⁱ⁾ – a _i

Найти из системы M = u^{( i )} + q^{( i )}

x⁽ⁱ⁾ =x^{( i – 1)} +a _i

= A

r⁽ⁱ⁾ = r^{(i – 1)} – a _i

Если ||r||₂/ ||r⁽⁰⁾||₂£ tol

то КОНЕЦ(x^{( i )} – полученное решение)

увеличить i

Параметры метода совпадают с параметрами методов BiCG, BiCGStab и QMR.

Пример использования метода CGS в системе TALGAT:

- действительный случай: SET "solve" CGS_r real_m right_r 0.5 1.e-8 100 20 5.e-4;

- комплексный случай: SET "solve" CGS complex_m right_c 0.5 1.e-8 100 20 5.e-4.

Дата добавления: 2014-12-27