Приклад. Математичний опис фізичних елементів

Математичний опис фізичних елементів

Для електричного кола заданого виду скласти й записати в стандартній формі диференціальні рівняння; вхідна величина – напруга ; вихідна – .

Визначити передатну функцію:

а) по диференціальнім рівнянням, що складені;

б) через відношення операторних опорів.

Дано пасивне електричне коло (рис.1); вхідна величина – напруга ; вихідна – .

Рис. 1

Необхідно:

1) скласти й записати в стандартній формі диференціальне рівняння.

Згідно із законом Ома запишемо:

(1)

(2)

Струм через ємність С рівний:

,

очевидно, .

Після підстановки у (2)

.

Останнє співвідношення підставимо у (1):

.

Введемо позначення , після чого одержимо:

.

Перетворимо одержане рівняння за Лапласом:

.

Звідки передавальна функція:

.

Однак її можна виразити через опори схеми. Для цього розділимо чисельник і знаменник на :

(3)

Як відомо, – є зображення за Лапласом опору конденсатора С.

Тобто .

Активний опір R та ємнісний С з’єднані послідовно. Зображення їх сумарного опору є сума цих двох опорів. Тобто

.

Очевидно, що

, (4)

тобто опору схеми відносно входу.

В той же час вихідний опір (відносно клем вихідних) дорівнює:

(5)

Очевидно, із (3) виходить (див. формули (4) та (5)):

(6)

Таким чином, можна довести справедливість (6) для будь-якої складної схеми.

Для цього необхідно уявити, що до вхідних клем під'єднане умовне джерело напруги при розімкнених вихідних клемах. Записати опір струму, який буде проходити по цій частині схеми, це буде . Аналогічно при розімкнених вхідних клемах можна одержати .

Дата добавления: 2014-12-29