Стохастические модели управления запасами

Стохастические или вероятностные модели позволяют наиболее точно описать ситуации, с которыми приходится сталкиваться на практике, а значит - найти более точные решения возникающих задач. Они базируются на рассмотренных ранее трех подходах к управлению запасами, но предполагают использование более сложного математического аппарата. Кроме того, меняется один из важнейших принципов, заложенных в основу формирования моделей: если в детерминированных моделях дефицит ресурса на складе был полностью исключен, то в стохастических допускается вероятность его возникновения.

Во всех трех типах стохастических моделей интенсивность потребления ресурса со склада рассматривается как величина случайная, распределенная по нормальному закону. Это основное отличие такой постановки задачи управления запасами от рассмотренных ранее случаев. Кроме того, вводится новый параметр управления: Р_о-вероятность бездефицитной работы. Очевидно, что чем ближе его значение к единице, тем больше средств должно вкладываться в создание резервного запаса на складе, и наоборот.

Учитывая то, что стохастическая постановка не меняет сути трех подходов к управлению запасами, в дальнейшем изложении обратим основное вни­мание на новизну математического аппарата моделей.

Управление запасом с фиксированной партией поставки

Пусть интенсивность потребления ресурса — величина случайная, распределенная нормально параметрами М_i и σ_i, где М_i - математическое ожидание (среднее значение) и σ_i - среднеквадратичное отклонение случайной величины. Договором с поставщиком зафиксированы срок поставки Т_пост и партия поставки n_пост, причем размер партии может быть оптимизирован с помощью модели ЕОQ. Менеджером склада установлен основной для первого способа параметр управления Н_тз.

Необходимо ответить на вопрос: с какой вероятностью на складе не возникнет дефицита ресурса? В уже сделанных обозначениях нам требуется найти значения Р_о. Отправной точкой для дальнейших рассуждений является известная из теории вероятности формула нахождения нормированного отклонения случайной величины отсреднего:

ξ (Р_о) = (З_тз – М_i ^*) / σ_i^*

где М_i* - ожидаемое потребление ресурса за время исполнения заказа (Т_вз);

σ_i^* - среднеквадратичное отклонение этой случайной величины; Р₀ - вероятность того, что эта случайная величина примет любое значение, не превышающее З_тз; ξ(Р_о) — величина нормированного отклонения, или квантиль, определена для заданной вероятности, отыскивается по таблицам интегральной или накопленной вероятности для нормального закона распределения.

Из правила суммирования случайных величин следует

М_i ^* = Т_пост М_i,

(σ_i^*)² = Т_вз σ_i² , => σ_i^* = σ_i .

Выполнив необходимые расчеты и получив значение квантиля, по таблице находим соответствующую ему величину Р_о. Это вероятность того, что к моменту получения очередной партии склад не окажется пустым. В зарубежной литературе этот параметр получил название "вероятность покрытия спроса". Для полноты картины можно определить вероятность того, что запас не буде исчерпан уже за день до поставки, или значение Р_i; к получению результата ведет следующая последовательность действий:

ξ (Р_i) = (З_тз – (Т_вз – 1) М_i) / σ_i => Р_i.

Этот и подобные ему расчеты, выполненные для других сроков, могут пригодиться при установлении оптимального уровня резервного запаса.

Надо отметить, что возникновение дефицита на складе за день, за два, за три дня до поставки - зависимые случайные величины, поэтому Р_i - это часть Р_о,Р₂ - часть Р_i и т.д. Значит, для расчета З_тз достаточно знать только Р_ои наоборот.

Если полученное значение Р_о не устраивает менеджеров, то можно предложить решение обратной задачи: по заданной вероятности бездефицитной работы найти точку заказа. В этом случае ход решения таков:

Р_о => ξ (Р_о) => З_тз = М_i ^* + ξ (Р_о) σ_i^*= Т_вз М_i + ξ (Р_о) σ_i .

Из последней записи хорошо видно, что величина ξ (Р_о) σ_i представляет собой резервный запас, обеспечивающий с вероятностью Р_о бездефицитность работы склада. Очень важна задача нахождения его оптимального уровня. Существующие методы основаны на том, что с ростом Р_орастут затраты на создание и содержание резервного запаса ресурса, но снижаются потери ввиду его дефицита. Сложность практического применения этих методов состоит в том, что трудно оценивать потери от дефицита ресурса и затраты на резервирование. Разные подходы к такой оценке дают разные алгоритмы решения задачи оптимизации.

Положим, точка заказа установлена, мы получили причитающийся за работу гонорар, но на рассматриваемом предприятии возникла другая проблема: поместится ли в склад емкостью З_скл очередная поступающая партия ресурса?

Переполнения склада не произойдет с вероятностью Р_о, если за срок по­ставки будет потреблено ресурса более, чем З_тз + Q_пост - З_скл (см. рис. 5). По
аналогии с предыдущими рассуждениями запишем:

ξ (Р) = (З_тз + Q_пост - З_скл – М_i^*) / σ_i^*,

где Р - вероятность того, что потребление ресурса за время Т_пост не превысит указанной величины. Искомая вероятность является дополнением к найденной, т.е. Р_с => 1 - Р. Тогда окончательный вид формулы

ξ(1-Р_с) = (З_тз + Q_пост - З_скл – Т_вз М_i) / σ_i .

Для решения обратной задачи следует выполнить:

Р_с => 1-Р_с => ξ(1-Р_с) => З_скл- Т_вз М_i - ξ(1-Р_с) σ_i .

Далее предприятию предстоит решить третью задачу: что случится, если срок поставки будет постоянно нарушаться и в конце концов тоже окажется случайной величиной, распреде­ленной нормально с параметрами М_т и σ_т?

В этом случае вместо значения Т_вз в расчетах используется М_т, а значе­ние σ_i^* определяется из соотношения

(σ_i^*)² = М_тσ_i² + М_т² σ_т ²

Из анализа приведенной модели можно сделать следующий вывод. Вероятность бездефицитной работы склада определяет только точку заказа и величину резервного запаса. Следовательно, уменьшать партию поставки, а с ней и емкость склада можно не снижая уровня надежности склада. Это свойство используется при расчете оптимальной партии поставки с помощью модели ЕОQ.

Управление запасом с фиксированным ритмом поставки

Пусть, как и в предыдущем случае, интенсивность потребления ресурса - величина случайная, распределенная нормально с параметрами М_i и σ_i. Договором с поставщиком установлены срок и ритм поставки Т_взи Т_пост.

Требуется определить емкость склада, исходя из двух условий:

1) с вероятностью Р₀должна обеспечиваться бездефицитность его работы;

2) с вероятностью Р_с должно быть исключено его переполнение.

Как было показано в п. 2.2, бездефицитность работы склада обеспечивается на интервале Т_вз + Т_пост., причем за это время должно быть потреблено ресурса не более чем З*_скл (см. рис. 7). Потребление ресурса здесь - величина случайная, распределенная нормально с параметрами М_i** и σ_i **, где

М_i** = М_i (Т_вз+ Т_пост.),

(σ_i **)² = σ_i²(Т_вз+ Т_пост.) => σ_i ** = σ_i

Формула расчета квантиля, соответствующего вероятности Р_о , в этом случае имеет вид

ξ(Р_о) = (З^*_скл – М_i^**) / σ_i **.

Тогда при известном значении Р_о можно найти условный максимальный запас Н^*_скл, выполнив следующие действия:

Р_о => ξ (Р_о) => З*_скл = М_i**+ ξ (Р_j) σ_i ** = М_i (Т_вз + Т_пост) + ξ (Р_о) σ_i

Реальная емкость склада может быть меньше величины З*_скл на то количество ресурса, которое будет потреблено за срок поставки. Это тоже случайная величина, распределенная нормально с параметрами М_i* и σ_i *. Для того чтобы не произошло переполнения склада, она должна принимать любые значения, не меньшие З*_скл - З_скл (см. рис. 7), т. е.

ξ (1-Р_с) = (З*_скл - З_скл – М_i*)/ σ_i*.

Тогда при известном значении Р_с можно следующим образом выразить З_скл через З*_скп:

Подставив в эту формулу выражение, выведенное ранее для расчета Н*_скл, получим:

З_скл = М_i(Т_вз + Т_пост) + ξ (Р_о) σ_i - М_i Т_вз - ξ (1-Р_с) σ_{i =} М_i Т_пост+

+ σ_i (ξ (Р_о) - ξ (1-Р_с)).

Таким образом, емкость склада зависит одновременно от значений обоих параметров Р_о и Р_с.

При задании емкости склада решается обратная задача, т. е. рассчитывается вероятность его бездефицитного функционирования или вероятность его непереполнения.

ξ (Р_о) - ξ (1-Р_с) = (З_скл – М_i Т_пост) / σ_{i .}

Очевидно, что одна из этих вероятностей должна быть задана, иначе обратная задача окажется неопределенной. При ее решении должно также соблюдаться условие З_скл - М_i Т_пост > 0.

Зная значение З*_скл, можно найти величину текущей партии поставки ресурса на склад:

Q_тек = З_скл - З_тек

Теоретически размер партии может достигать значения З*_скл, практически же на него накладывается ограничение З_скл ≥ Q_тек, нарушение которого ведет к несостоятельности приведенных выше выкладок. Может быть также задана нижняя граница изменения названной величины - (Q_тек)_min. В этом случае определяется вероятность того, что размер текущей партии не выйдет за нее или Р_п.

Известно, что заказывается для очередной поставки столько ресурса, сколько его потребляется за время R_пост относительно уровня З*_скл (см. рис. 7). Тогда

ξ (1 – Р_п) = ((Q_тек)_min - М_i Т_пост / σ_{i .}=> 1 - Р_п.=> Р_п

На основании записанной формулы может быть решена и обратная задача.

Комбинированный способ управления запасом

Комбинированная модель и в стохастической постановке сочетает в себе черты двух других моделей управления запасами. Резервирование бездефицитной работы, как в первой модели, осуществляется на интервале Т_вз; значения З_тз и З_рез, рассчитываются по соответствующим формулам, приведенным в п. 4.1. Но, в отличие от этой модели, размер партии поставки меняется в зависимости от ожидаемой интенсивности потребления ресурса на интервале Т_вз. Предполагая, что емкость склада фиксирована на уровне Т_скл и его переполнение запрещено с вероятностью Р_с, найдем величину текущей партии поставки.

Случайная величина - потребление ресурса на интервале Т_вз - для исключения переполнения склада должна принимать любые значения, превы­шающие З_тз + Q_тек -З_скл. Тогда

ξ(1-Р_с) = (З_тз + Q_тек – З_скл – Т_взМ_i) / σ_{i ,}

откуда

Q_тек = З_скл - З_тз + Т_взМ_i + σ_i ξ(1-Р_с).

Как уже отмечалось в п. 3.3, эта модель очень близка модели с фиксированной партией поставки. Это подтверждает и приведенная выше формула расчета Q_тек. Из нее видно, что величина текущей партии поставки меняется только при изменении параметров распределения случайной величины - интенсивности потребления ресурса со склада (М_i, σ_i), условий договора с поставщиком (Т_вз), параметров управления запасом (З_скл, Р_с, Р_о), т. е. достаточно редко. В то же время значение Q_тек не оптимизируется с помощью модели ЕОQ, что резко снижает практическую значимость этого способа управления запасом.

Определение параметров управления запасом методом "платежной матрицы"

На практике распределение случайной величины — интенсивности потребления ресурса со склада часто задается не так строго, как это было рас­смотрено в предыдущих пунктах этой главы. В основу другого способа задания положены данные статистического учета частоты появления той или иной интенсивности. В результате имеет место дискретное задание распределения случайной величины. В таком случае для расчета параметров управления запасом может быть использован метод "платежной матрицы".

Метод "платежной матрицы" широко применяется в производственном менеджменте для принятия управленческих решений в условиях неопределенности. В его основе лежит составление специальной матрицы, строки которой - это альтернативные варианты, из которых менеджер должен сделать выбор, столбцы - возможные состояния внешней среды с указанием вероятности появления каждого, а элементы матрицы — платежи. Платежами могут быть как затраты, обусловленные принятием данного варианта при данном состоянии среды, так и доходы на тех же условиях.

В первом случае целью является выбор варианта, минимизирующего средние затраты при большом числе реализаций случайной величины, характеризующей состояние внешней среды. Во втором случае - выбор варианта, максимизирующего доходы.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

На инструментальном складе принята система управления запасом с фиксированной партией поставки. Известно, что за срок пополнения за­паса в среднем потребляется 60 единиц инструмента данного типоразмера, в 30% случаев потребление его составляет 70 единиц, а в 20% - 50 единиц. Затраты на хранение в расчете на этот срок составляют 40 руб./ед., потери, обусловленные дефицитом (например, срочная покупка недостающего инструмента в розничной сети и доставка его на склад), - 90 руб./ед.

Требуется определить точку заказа данного инструмента.

Дата добавления: 2014-12-29