Алгоритмы обхода связного графа

Циклы

50. На рисунке изображена карта Кенигсбергских мостов.

Определите, можно ли, начав с некоторой точки, совершить прогулку и вернуться в исходную точку, пройдя по каждому мосту ровно 1 раз.

51. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту ровно один раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист:

а) не с него начал и не на нем закончил?

б) с него начал, но не на нем закончил?

в) с него начал и на нем закончил?

52. Определите, является ли граф, заданный матрице смежности, эйлеровым. (1 балл)

53. Существует ли эйлеров граф, обладающий висячей вершиной?

54. Найти эйлеров цикл в графе:

55. Привести пример графа, все степени которого четны, но который не является эйлеровым.

56. Для каких графов можно найти цикл, проходящий по каждому ребру 1 раз?

57. Для каких графов можно найти маршрут, проходящий по каждому ребру 1 раз?

58. Докажите, что на любом связном графе с 2k нечетными вершинами можно указать семейство из k маршрутов, которые в совокупности содержат все ребра графа по одному разу.

59. Имеется полный граф на 16 вершинах. Каково минимальное число маршрутов в графе, которые в совокупности содержат все его ребра и все вершины?

60. Дан кусок проволоки длиной 120 см. а) Можно ли, не ломая проволоки, изготовить каркас куба с ребром 10 см? б) Какое наименьшее число раз придется ломать проволоку, чтобы все же изготовить требуемый каркас?

61. Можно ли нарисовать решетку, изображенную на рисунке, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды? Какое наименьшее число раз придется оторвать карандаш от бумаги?

62. На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру. Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.

63. Для каких чисел m, n граф G является эйлеровым:

1) К_n – полный граф с n вершинами?

2) K_mn – полный двудольный граф с n, m вершинами?

3) W_n – колесо с n вершинами?

64. Для каких чисел m, n граф является гамильтовым?

1) К_n – полный граф с n вершинами?

2) W_n – колесо с n вершинами?

65. Дана матрица смежности графа. Определить, является ли граф эйлеровым, гамильтоновым.

66. В стране некоторые пары городов соединены авиалиниями, причем каждый город соединен не менее чем с половиной других городов. Докажите, что туристическая фирма может найти такой маршрут облета городов, который начинается и заканчивается в одном и том же городе, причем каждый город посещает ровно один раз.

67. На пир при дворе короля Артура собралось четное число рыцарей, которые либо враждуют, либо дружат. Оказалось, что у каждого рыцаря друзей больше, чем врагов. Докажите, что можно рассадить рыцарей за круглым столом таким образом, что справа и слева от каждого из них будет сидеть друг.

68. Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?

69. Можно ли перевести шахматного коня с клетки а1 на клетку h8, побывав при этом на каждой клетке шахматной доски ровно один раз?

70. Перечислить вершины графа в порядке обхода а) в глубину; в) в ширину.

71. Граф задан матрицей смежности. Найти

∙ Какой-либо путь из вершины 2 в вершину 4;

∙ кратчайший путь из вершины 2 в вершину 4;

∙ кратчайшие пути из вершины 2 ко всем остальным вершинам.

72. На клетчатом листе бумаги размером 10 х 10 закрашены некоторые клетки. Разрешается ходить по не закрашенным клеткам, переходя на каждом шаге вверх, вниз, вправо или влево. Описать алгоритм, отвечающий на следующие вопросы:

А. Есть ли путь из левой нижней клетки в правую верхнюю;

Б. Какое минимальное число шагов нужно сделать, чтобы пройти этот путь;

В. По каким клеткам при этом надо идти

73. В двузначном числе за один ход разрешается заменить любую цифру суммой цифр по модулю 10. Заданы два двузначных числа a и b. Написать программу, которая определяет: можно ли построить цепочку ходов, которая переводит a в b; минимальную такую цепочку. В двузначном числе старшая цифра может быть и нулем.

74. На шахматной доске N х N, несколько клеток, которой вырезано, заданы две клетки. Построить минимальный путь коня из одной данной клетки в другую.

75. В таблице N x N, где N<13, клетки заполнены случайным образом цифрами от 0 до 9. Предложить алгоритм, позволяющий найти маршрут из клетки (1,1) в клетку (N,N) и удовлетворяющий следующим условиям:

∙ любые две последовательные клетки в маршруте имеют общую сторону;

∙ количество клеток маршрута минимально;

∙ из всех маршрутов, удовлетворяющих условиям 1) и 2), искомый маршрут тот, сумма цифр в клетках которого максимальна.

Дата добавления: 2014-12-29