Смагин В.И., Решетникова Г.Н

Томск

Учебное пособие

И интегрирование

Аппроксимация, дифференцирование

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

В.И.Смагин, Г.Н.Решетникова

Вопросы для повторения

1. Какие существуют способы классификации услуг?

2. Что такое метод? Какие общие методы используются во всех сфе­рах человеческой деятельности?

3. Как можно классифицировать методы оказания услуг?

УДК 519.6

ББК 22.19

В31

Авторы:

Смагин Валерий Иванович – профессор кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, доктор технических наук.

Решетникова Галина Николаевна – доцент кафедры прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, кандидат технических наук.

Численные методы (аппроксимация, дифференцирование и интегрирование). Учебное пособие. – Томск: Томский государственный университет, 2007. – 203 с.

В учебном пособии рассматриваются основы теории погрешностей, вопросы приближения функций, изучаются алгоритмы численного дифференцирования и интегрирования. Приводятся контрольные вопросы и задания.

Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Математические методы в экономике» и «Прикладная математика и информатика».

Рецензенты:

Н.С. Дёмин, доктор физико-математических наук, профессор

Г.М. Кошкин, доктор физико-математических наук, профессор

Томский государственный университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ..................................................................... 6

ВВЕДЕНИЕ............................................................................. 7

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ.......................... 9

1.1. Математические оценки точности приближенного числа............ 9

1.2. Запись чисел на ЭВМ............................................................................... 9

1.3. Верные знаки приближенного числа................................................. 10

1.4. Классификация погрешностей............................................................ 11

1.5. Погрешность вычисления функции многих переменных............. 12

1.6. Обратная задача теории погрешностей........................................... 14

1.7. Погрешности простейших функций................................................... 15

1.8. Контрольные вопросы........................................................................... 17

1.9. Задания к главе 1..................................................................................... 18

2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ................................. 19

2.1. Постановка задачи................................................................................. 19

2.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа....................................... 21

2.3. Интерполяционная схема Эйткена.................................................... 25

2.4. Остаточный член многочлена Лагранжа......................................... 27

2.5. Разделенные разности и их свойства................................................ 30

2.6. Интерполяционная формула Ньютона при неравноотстоящих узлах 32

2.7. Многочлены Чебышева и их свойства.............................................. 35

2.8. Минимизация погрешности метода при аппроксимации многочленом Лагранжа 37

2.9. Многочлены наилучшего равномерного приближения............... 40

2.10. Экономизация степенных рядов....................................................... 43

2.11. Интерполирование с кратными узлами.......................................... 44

2.12. Интерполирование при равноотстоящих узлах.......................... 46

2.12.1. Конечные разности...................................................................... 46

2.12.2. Интерполирование в начале и конце таблицы..................... 47

2.12.3. Формулы Гаусса........................................................................... 49

2.12.4. Формулы Стирлинга и Бесселя................................................. 51

2.12.5. Оценки погрешности метода и неустранимой

погрешности................................................................................................ 52

2.13. Сплайн-функции.................................................................................... 55

2.13.1. Линейный сплайн.......................................................................... 56

2.13.2. Параболический сплайн............................................................. 58

2.13.3. Кубический сплайн...................................................................... 60

2.13.4. В-сплайны....................................................................................... 64

2.13.5. Эрмитовы сплайны....................................................................... 69

2.14. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов (МНК) 71

2.14.1. Аппроксимация алгебраическими полиномами.................. 74

2.14.2. Аппроксимация ортогональными полиномами................... 76

2.14.3. Аппроксимация ортогональными полиномами дискретной переменной 78

2.15. Аппроксимация функций многих переменных............................. 80

2.15.1. Построение интерполяционных многочленов...................... 81

2.15.2.Метод последовательного интерполирования..................... 83

2.15.3. Применение метода наименьших квадратов........................ 85

2.16. Контрольные вопросы......................................................................... 88

2.17. Задания к главе 2.................................................................................. 90

3. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ................... 93

3.1. Численное дифференцирование при неравноотстоящих узлах. 94

3.2. Численное дифференцирование при равноотстоящих узлах..... 98

3.3. Оценка приближений численного дифференцирования по правилу Рунге 105

3.4. Метод квадратурных формул........................................................... 107

3.5. Контрольные вопросы......................................................................... 108

3.6. Задание к главе 3.................................................................................. 109

4. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ........................... 110

4.1. Общая интерполяционная квадратура........................................... 111

4.2. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса................................... 114

4.2.1. Квадратурные формулы прямоугольников........................... 118

4.2.2. Квадратурная формула трапеций........................................... 123

4.2.3. Квадратурная формула Симпсона (парабол)...................... 124

4.2.4. Квадратурная формула “трех восьмых”

(формула Ньютона)................................................................................. 126

4.3. Метод Рунге оценки погрешности................................................... 128

4.4. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности 131

4.5. Частные случаи квадратурного правила наивысшей алгебраической степени точности 140

4.6. Квадратурные формулы с равными коэффициентами............... 160

4.7. Приближенное вычисление несобственных интегралов........... 166

4.8. Приближенное вычисление неопределенных интегралов........ 169

4.9. Методы Монте-Карло......................................................................... 171

4.9.1. Простейший метод Монте-Карло............................................ 172

4.9.2. Геометрический метод Монте-Карло..................................... 177

4.10. Контрольные вопросы...................................................................... 186

4.11. Задания к главе 4................................................................................ 188

5. ПРИЛОЖЕНИЕ. ВАРИАНТЫ К ЗАДАНИЯМ.......... 192

5.1. Варианты к заданиям 1.1.................................................................... 192

5.2. Варианты к заданиям 2.1-2.5............................................................. 194

5.3. Варианты к заданиям 2.6.................................................................... 196

5.4. Варианты к заданиям 2.7-2.8, 3.1..................................................... 197

5.5. Варианты к заданиям 4.1-4.6............................................................. 199

5.6. Варианты к заданиям 4.7.................................................................... 201

ЛИТЕРАТУРА..................................................................... 203

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для студентов вузов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика» и «Математические методы в экономике» и соответствует содержанию Государственного образовательного стандарта по дисциплине «Численные методы». Учебное пособие включает основные понятия теории погрешностей, теорию аппроксимации функций, методы численного дифференцирования и интегрирования. Изучение этих разделов дает необходимые знания для студентов данных специальностей и служит основой для изучения других дисциплин, преподаваемых на старших курсах. В учебном пособии изложены теоретические вопросы дисциплины, в нем содержится большое количество примеров, контрольных вопросов и заданий для организации компьютерного практикума. В приложении приведены варианты исходных данных к заданиям.

Учебное пособие может быть полезным для студентов, обучающихся по математическим, инженерно-техническим и экономическим специальностям, а также для специалистов, желающих познакомиться с методами численного решения практических задач.

Авторы будут благодарны за любые замечания и предложения по содержанию и оформлению учебного пособия.

Дата добавления: 2014-12-29