Обчислювальний експеримент. Алгоритм роботи з моделлю Мальтуса

Алгоритм роботи з моделлю Мальтуса

1. Створити електронну таблицю й заповнити її перший рядок іменами змінних за зразком з попередньої задачі, замінивши j на t.

	A	B	C	D	E
	t	D N	N	Дано:
				N 0=
				k =	0,25
				D t =	0,1
...	...	...	...

2. Увести вхідні дані й початкові умови (заповнити стовпець «Дано:» і стовпець, що йде за ним).

3. Заповнити другий рядок таблиці (для початкового моменту t =0);

N = N ₀ – посиланням на відповідне значення із стовпця Е;

Δ N = 0 – на початку спостереження приросту ще немає.

4. Заповнити третій рядок (для кінця першого проміжку Δ t, який одночасно є початком другого, тобто для моменту часу t +Δ t, перетворивши на табличні формули приведені нижче вирази:

t_і = t_{і- 1} + Δ t; Δ N_і = N_{і- 1}· k· Δ t згідно з (2); N_і = N_{і- 1} +Δ N_і згідно з (3).

5. Значення змінних N і Δ N відповідно до смислу цих величин представити у форматі цілих.

6. Рядок 3 скопіювати вниз на 20 рядків і за наведеним алгоритмом заповнити відповідні комірки таблиці й почати

Уведемо початкові значення змінних: N ₀ = 100; k= 0,25; Δ t= 0,1. На рис. 4.1 показано зміни в часі величин Δ N і N.

	A	B	C	D	E
	t	Δ N	N	Дано:
				N 0=
	0,1			k =	0,25
	0,2			Δ t =	0,1
	0,3
	0,4
	0,5
	0,6
...	...	...	...

Рис. 4.1

З таблиці легко бачити, що

1) чисельність N популяції з часом монотонно росте, росте й
середня швидкість Δ N /Δ t приросту популяції;

2) значення змінних N і Δ N є несумірними, а саме N ≫Δ N, тому графіки залежностей N = N (t) і Δ N = Δ N (t) доцільно виводити на різних осях: N = N (t) – на основній, а Δ N = Δ N (t) – на допоміжній.

Вправи

1. Як за таблицею встановити, що залежність чисельності від часу N = N (t) не є лінійною функцією?

Визначте, через який час початкова чисельність збільшиться удвічі? Ще удвічі?

2. Чи можна зробити висновок, що в цій моделі послідовні
подвоєння чисельності відбуваються через однакові проміжки часу?

3. Чи виконується така ж закономірність для Δ N – приростів
чисельності популяції?

4. Візьміть два однакові за тривалістю проміжки часу (наприклад, 2Δ t або 3Δ t) і знайдіть на кожному з них відношення кінцевої чисельності до початкової. Виконайте це у вільних комірках таблиці.

5. Повторіть завдання з якими-небудь іншими, але знову однаковими проміжками часу. Порівняйте результати, зробіть висновки.

Зауваження 2. Аналітичний розв’язок рівняння (1) в математиці добре відомий. Він має вигляд:

N = N ₀ e^kt, (5)

де N ₀ – кількість особин в початковий момент часу t = 0;

е = 2,718... – основа натуральних логарифмів; його називають числом Ейлера на честь видатного математика ХVІІІ ст.

Завдання 2-5 із вправи на практиці знайомлять з деякими властивостями показової функції (5).

Завдання 6. Період подвоєння населення Землі у наш час складає близько 40 років. Якби швидкість приросту чисельності не змінювалася з часом, то чи можна було б стверджувати, що

а) кількість людей, які живуть на Землі сьогодні, більша за кількість померлих за останні 1000 років?

б) швидкість приросту чисельності більша за кількість усіх
людей, які колись померли?

в) яким би тоді мав бути час існування людства? То чи зміню­валася швидкість приросту населення? Якщо так, то як саме?

г) як треба було б змінити вхідні дані в таблиці, щоб перевірити свої відповіді за допомогою цієї моделі? Виконайте таку роботу.

Висновки

1. При k >0 модель Мальтуса дає необмежене зростання чисельності популяції з часом, чого в природних умовах ніколи не спостерігається. Тут слід взяти до уваги, що згадані на початку природні
ресурси (такі як простір, їжа, вода, світло) насправді є обмеженими. Це призводить до існування верхньої межі чисельності. Таким
чином, зміну чисельності популяцій рослинного й тваринного світу не можна описувати простим законом Мальтуса: його динаміку складним способом обумовлюють багато різних чинників.

2. Працюючи з цією моделлю, ми мали можливість переконатися в тому, що результати моделювання повністю відповідають припущенням, прийнятим при побудові моделі.

Будь-яка модель є адекватною об’єкту лише в межах прийнятих припущень, і чим менше обґрунтовані ці припущення, тим менше шансів отримати задовільні й реалістичні (адекватні) результати.

3. Результати моделювання можуть виявитися помилковими принаймні в силу таких причин:

– в основу моделі покладені необґрунтовані припущення;

– дослідник розширює сферу застосування моделі за границі, обмежені границями застосовності;

– на етапі прийняття припущень дослідник не враховує деякі
істотні чинники.

Ось і модель Мальтуса непогано описує популяції лише за відсутності обмежень. Інших ситуацій вона й не передбачає.

4. У математичній екології модель Мальтуса є найпростішою і зазвичай використовується як основа для подальших побудов досконаліших, тобто реалістичніших і більш адекватних моделей.

5. З пізнавальної точки зору модель Мальтуса може представляти додатковий інтерес ще і як об’єкт для дослідження деяких цікавих властивостей показникової функції, що описується рівнянням (5).

Повернемося, проте, до нашого ставка з карасями, яких ми
залишили в повній ідилії. Чи не набридло нам їх одноманітне життя в повному достатку? Інакше кажучи, повернемося до нашого головного питання про динаміку чисельності популяції та розглянемо

Дата добавления: 2015-01-03