Правило Лопиталя

Доказанные в предыдущем параграфе теоремы имеют важные приложения, в частности, теорема Коши приводит к новому для нас методу вычисления пределов.

Задача 1 (Правило Лопиталя)

Пусть f(x) и дифференцируемы в точке , причем:

Показать, что (1)

Из условия следует, что f(x₀)= =0. Тогда согласно теореме Коши , в которой выполняется соотношение

Вычисление предела этого соотношения

приводит к правилу Лопиталя (1)

Вывод: Предел частного дифференцируемых функций, в случае неопределенности вида , равен пределу частного производных функций, если этот предел существует.

Пример 1. Вычислить

Замечание 1. Если отношение функций представляет собой неопределенность вида , то правило Лопиталя применимо (без доказательства).

Пример 2. Вычислить

Замечание 2. Правило Лопиталя можно применять повторно, если вновь приходим к неопределенности.

Пример 3.

Вычислить

Замечание 3.

Правило Лопиталя можно применять для вычисления предела в бесконечно удаленной точке.

Пример 4.

Вычислить

Пример 5.

Вычислить

не существует, а значит, правило Лопиталя не применимо.

Правильное решение:

Задача 2.

Свести неопределенность вида (0. ) к неопределенности вида () или .

Пусть при х

Тогда очевидны следующие соотношения

Замечание 4.

Правило Лопиталя после преобразования можно применять для раскрытия неопределенностей вида ( 0)

Пример 6.

Вычислить

Задача 3.

Свести неопределенность вида () к неопределенности вида ()

Пусть . Тогда необходимо преобразовать разность (f(x)- следующим образом

f(x)-

Замечание 5.

Правило Лопиталя можно применять для раскрытия неопределенностей вида (), т.к. она сводится к неопределенности вида ().

Пример 7.

Вычислить

Замечание 6.

Неопределенности вида(), (), () можно свести к неопределенностям вида () используя соотношение.

Пример 8.

Вычислить

=

Вычислим:

следовательно

Дата добавления: 2014-12-23