Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

Знакопеременные ряды. Признаки сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная сходимость

Ряд с членами произвольного знака

(3)

называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд

(4)

Ряд (3) в этом случае также сходится.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не зависит от того, в каком порядке суммируются члены ряда. Для того, чтобы определить абсолютную сходимость ряда (3), достаточно применить к ряду (4) признаки сходимости для рядов с положительными членами. Если ряд (3) сходится, а ряд (4) расходится, то ряд (3) называется не абсолютно (условно), сходящимся. Сумму такого ряда путём перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу.

Пример 10. Сходится ли ряд (плюс, два минуса, три плюса, четыре минуса и т.д.)?

Ряд из абсолютных величин членов имеет вид и, следовательно, сходится (), следовательно, сходится и исходный ряд.

Знакочередующийся ряд сходится (вообще говоря, не абсолютно), если абсолютные величины его членов монотонно убывают , а общий член стремится к нулю . В этом случае остаток ряда по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отбрасываемых членов:

Пример 11. Ряд сходится, так как все условия признака Лейбница выполнены. Ряд отличается от гармонического ряда лишь знаками чётных членов.

Дата добавления: 2014-12-23