Пример 1.2

Снаряд движется в вертикальной плоскости. Угол наклона ствола орудия к горизонту . Начальная скорость снаряда . Определить траекторию снаряда, высоту и дальность обстрела, максимальную дальность обстрела. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Заметим, что по условию задачи единственной силой, действующей на снаряд во время полета, является сила тяжести, которая сообщает снаряду ускорение свободного падения. Выбирая начало координат в точке расположения орудия и направляя ось горизонтально, а ось вертикально (Рис.1.2), находим:

или

Получены обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, интегрируя которые

находим при заданных начальных условиях

Рис.1.2

законы изменения проекций скорости снаряда на координатные оси:

(a)

Уравнения (a) можно рассматривать как дифференциальные уравнения относительно координат снаряда.

Выполняя интегрирование

получаем закон движения снаряда:

(b)

Исключая время из уравнений (b), получаем уравнение траектории снаряда:

представляющей собой часть параболы, расположенную над осью .

Обозначим время полета снаряда. Для момента падения снаряда имеем условия:

при

где – дальность полета снаряда. Подставляя эти условия в уравнения (b), получаем

Отсюда

Очевидно, дальность будет максимальной, когда принимает максимальное значение т.е.

при , т.е. при

Для определения максимальной высоты снаряда воспользуемся тем, что в верхней точке траектории скорость горизонтальна. Обозначая время подъема снаряда на максимальную высоту, получаем

при .

Из уравнений (a), (b) имеем:

Отсюда

Дата добавления: 2014-12-25