Упрошенный способ вычисления коэффициента корреляции

Выше в п.п. 6.2 и 6.3, при составлении уравнений прямых регрессии либо по данным корреляционной таблицы непосредственно вычислялись коэффициенты регрессии, либо по тем же данным предварительно вычислялся коэффициент корреляции. В обоих случаях вычисления были очень громоздкими (операции с многозначными числами).

Между тем при постоянных разностях для рассматриваемых в таблицах значений х и у (в табл. 1 и , а в табл. 6 и ) можно заметно упростить вычисления, используя линейное преобразование переменных по формулам: и

где и — произвольно выбираемые значения из заданных значений переменных х и у,а и и v — новые переменные.

Так, для рассматриваемых значений х и у в табл. 1 можно провести преобразования

и ,

при которых соответствие между значениями х и и,а также между y и v отражено в табл. 8а и 8б.

Если же применяются преобразования

и ,

то получается другое соответствие (см. табл. 8в и 8г).

Таблица 8

а		б		в		г
х	и		y	v		x	u		y	v
105 115 125						105 115 125	-5 -4 -3 -2 -1			-5 -4 -3 -2 -1

Преобразования второй серии обеспечивают большее упрощение вычислений, так как в этом случае все операции ведутся с меньшими по абсолютной величине числами.

Для обоснования этих линейных преобразований

и

можно показать, что операции над переменными х и у, связанные с вычислением коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии, сводятся при этих преобразованиях к аналогичным операциям над новыми переменными и и v.

Прежде всего следует заметить, что средним значениям х и у соответствуют средние значения переменных и и v:

Отсюда, при зависимости будет и

Таким же образом можно установить, что

, или .

Далее, разность а поэтому

Аналогично устанавливается, что .

Эти результаты показывают, что участвующие в вычислениях средние квадратические отклонения принимают вид и .

Наконец, преобразование разности дает

.

Таким образом, переход к новым переменным дает преобразованную форму коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии:

Для составления уравнений регрессии с помощью новых переменных следует включать в корреляционную таблицу значения этих новых переменных, найденные по формулам:

и .

Удобней всего применять для этой цели исходную таблицу, помещая в ней значения и слева от соответственных значении х,а значения v — над соответственными значениями у. При этом вспомогательный характер значений и и v в таблице обычно оттеняется применением для них мелкого шрифта.

Для иллюстрации тех упрощений, которые достигаются введением новых переменных, используем этот способ на уже рассмотренном примере с распределением растений житняка. В виде значений и переменных х и у выгодней всего используются их средние или ближайшие к ним значения этих переменных. В примере с растениями житняка именно такую замену представляют данные второго преобразования. Поставленные во вторых столбцах табл. 8в и 8г числа получены таким образом: для значений переменной и преобразованием

,

а для значений переменной v преобразованием

.

Вся операция по отысканию параметров уравнений регрессии проводится по отдельным этапам.

1) Корреляционная таблица 1 пополняется значениями и и v.

2) Для отыскания коэффициента корреляции составляется вспомогательная таблица (см. табл. 10) с вычислением ее итоговых данных.

Таблица 9

v

-5

-4

-3

-2

-1

u

y x

-5

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

-4

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

-3

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

-2

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

-1

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

¾

3) По данным подсчетов:

Следует заметить, что , а также что формулы преобразования и позволяют: по найденным средним значениям новых переменных

и

сразу получить средние значения старых переменных:

	u					v
10 19 16 11	-5 -4 -3 -2 -1	-25 -40 -57 -32 -11	125 160 171	-5(-23) = 115 -4(-36) = 144 -3(-53) = 159 -2(-26) = 52 -l(-5) = 5 1×11 = 11 2×18 = 36 3×33 = 99 4×10 = 40 5×6 = 30		-5 -4 -3 -2	-15 -40 -60 -18 -14	75 160 180 36 25 108
N = = 10					N = 100

Совпадение с данными о значениях и , найденных непосредственным вычислением, подтверждает правильность проведения упрощенных вычислений.

4) Определив значения трех разностей:

можно записать, что и

Отсюда определяется коэффициент корреляции

Коэффициент регрессии у по х

Коэффициент регрессии х по у

Расхождения полученных коэффициентов с результатами непосредственных вычислений относятся к третьим десятичным знакам, что связано с приближенным характером вычислений.

Дата добавления: 2014-12-26