Теорема Кронекера-Капелли

Ранг матрицы. Элементарные преобразования матрицы

Обратная матрица

Транспонирование матриц

Матрицы. Основные операции над матрицами

Задача 1.6. Найдите , если , .

Ответ: .

Задача 1.7. Найдите произведение матриц

и . Ответ: .

Задача 1.8. Проверьте, выполняются ли равенства , для матриц:

, , .

Ответ: равенства верны.

Задача 1.9. Вычислите , если

, , . Ответ: .

Задача 1.10. Проверьте, что матрица является обратной к матрице .

Задача 1.11. Найдите для матрицы

. Ответ: .

Задача 1.12. Приведите к ступенчатому виду матрицы , . Найдите их ранги.

Ответ: ; .

МОДУЛЬ 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Пусть задана система из линейных уравнений с неизвестными :

(1)

где числа называются коэффициентами системы,

а числа — свободными членами.

Решением системы (1) называется такой набор чисел , что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных ( вместо ,…, вместо ) каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Совместной называется система, которая имеет хотя бы одно решение.

Несовместной называется система, которая не имеет ни одно го решения.

Определённой называется система, которая имеет единственное решение.

Неопределённой называется система, которая имеет более одного решения.

Однородной называется система, если . В противном случае система называется неоднородной.

Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов системы:

.

Расширенной матрицей системы называется матрица

.

Теорема Кронекера-Капелли. Cистема линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы — выяснить, определённа она или нет. При этом возможны три варианта:

1) Если , то система несовместна. (*)

2) Если , где — число неизвестных, то система совместна и определённа. (**)

3) Если , то система совместна и неопределённа. (***)

§ 2. Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера

Пусть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , где — матрица системы,

— столбец неизвестных, — столбец свободных членов.

Пусть — определитель матрицы и пусть , т.е.

Правило Крамера. Если определитель системы (1) , то эта система совместна и определённа, т.е. имеет единственное решение, получаемое по формулам: , где — определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Пример 2.1. Решите систему уравнений по формулам Крамера:

Найдём определитель матрицы системы: .

Т.к. , то решение системы существует и единственно.

Найдём определитель . В определитель вместо первого столбца подставим столбец свободных членов :

.

Определитель получается из подстановкой столбца свободных членов вместо второго столбца :

.

Отсюда получим решение системы уравнений:

; .

Ответ:

Матричный метод

Пусть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , Тогда, если определитель , то система совместна и определённа, её решение задаётся формулой:

Пример 2.2. Решите систему уравнений примера 2.1 с помощью обратной матрицы: .

1) Т.к. , то решение системы существует и единственно.

2) Найдём алгебраические дополнения к элементам матрицы : , , , .

3) Найдём присоединённую матрицу: .

4) Найдём матрицу : .

5) Найдём решение системы уравнений:

.

Ответ: .

Пример 2.3. Решите систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

I способ, метод Крамера.

.

.

.

.

, , .

Ответ:

II способ, метод обратной матрицы.

1) .

2)

Алгебраические дополнения элементов матрицы :

3) Присоединенная матрица:

.

4) Обратная матрица:

.

5) Решение системы:

.

Ответ:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе система (1) приводится к одной из следующих систем:

· (2)

где , .

· (3)

где .

· (4)

где .

На втором этапе:

· система (2) имеет единственное решение, значение находится из последнего уравнения, значение — из предпоследнего,…,значение — из первого;

· система (3) имеет бесконечное множество решений;

· система (4) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять её последнему уравнению.

Метод Гаусса. применим к любой (!) системе линейных уравнений.

Опишем метод Гаусса подробнее на примере.

Пример 2.4. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.1; и если она совместна, то найдите её решение:

I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Имеем систему вида (2). Из второго уравнения . Подставляя это значение в первое уравнение, получим: .

Ответ:

Пример 2.5. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.3, и если она совместна, то найдите её решение:

I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (2). Из третьего уравнения .

Подставляя это значение во второе уравнение, получим: .

Подставляя найденные значения в первое уравнение, получим: .

Ответ:

Пример 2.6. Исследуйте систему линейных уравнений, и если она совместна, то найдите её решение:

I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (***) (см. §1), система совместна и неопределённа, т.е. имеет бесконечно много решений.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (3). Выразим из второго уравнения и подставим полученное выражение в первое уравнение:

.

Следовательно, исходная система имеет решение где , могут принимать любые действительные значения.

Ответ:

Продукт	Сырье
I	II
		1,5
Запасы

Пример 2.7. Цех выпускает два вида продукции и , полностью используя для их производства сырье вида I и вида II. В таблице указано число единиц сырья I и II, необходимых для производства одной единицы продукции и , а также имеющиеся запасы сырья.

Может ли цех удовлетворить заказ трёх торговых организаций:

Продукт	Заказ I организации	Заказ II организации	Заказ III организации

Пусть и — количество единиц продукции и соответственно, которое может выпустить цех при данных условиях производства. Тогда данные первой таблицы можно представить системой уравнений:

Решим её методом Гаусса.

~

Т.е. цех произведёт 10 единиц продукта , 15 единиц — продукта .

Выясним, сможет ли цех выполнить заказ.

Для выполнения заказа нужно единиц продукта и единиц продукта . Следовательно, цех может выполнить заказ.

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие системы линейных уравнений с неизвестными.

2. Матричный способ решения системы уравнений (метод обратной матрицы).

3. Метод Крамера решения систем уравнений.

4. Метод Гаусса решения систем уравнений.

5. Понятие однородных систем уравнений.

6. Теорема Кронекера-Капелли.

Дата добавления: 2014-12-26