Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства (четность, периодичность, монотонность, ограниченность) и графики функций




Функция, область ее определения и способы задания. Сложные и обратные функции.

ФУНКЦИЯ - соответствие y = f (x) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой величины x (аргумента, или независимого переменного) соответствует определенное значение другой величины y (зависимой переменной, или функции).

Переменная y называется функцией переменной x, если каждому допустимому значению х соответствует определенное значение y.

Символически функциональная зависимость между переменной y (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства y = f(x), где f обозначает совокупность действий, которые надо произвести над х, чтобы получить y.

Областью определения (существования) функции D(y) называется множество всех действительных значений аргумента х (множество всех точек числовой оси), при которых она имеет действительное значение.

Для задания функции необходимо и достаточно знать закон соответствия f, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения D(y).

Способы задания функций

Функция может быть задана:

Аналитически (формулой): зависимость между аргументом и функцией задается в виде математической формулы. В этой формуле указаны действия, которые нужно произвести над значением аргумента, чтобы получить соответствующее значение функции.

Таблицей: значения аргумента и соответствующие им значения функции записаны в виде таблицы.

Графиком:совокупность точек плоскости, абсциссы которых являются значениями независимой переменной, а ординаты – соответствующими значениями функции, называется графиком данной функции.

Сложная функция.

Пусть функция определена на множестве , а функция на множестве , причем для соответствующее значение . Тогда на множестве определена функция , которая называется сложной функцией от (или суперпозициейзаданных функций, или функцией от функции).

Переменную называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция есть суперпозиция двух функций и . Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

Обратная функция.

Пусть задана функция с областью определения и множеством значений Е. если каждому значению соответствует единственное значение , то определена функция с областью определения Е и множеством значений . Такая функция называется обратной к функции и записывается в следующем виде: . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию , обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно (если это возможно).



Пример. Для функции обратной функцией является функция ;

Пример. Для функции , обратной функцией является ; заметим, что для функции заданной на отрезке , обратной не существует, т.к. одному значению соответствует два значения .

Из определения обратной функции вытекает, что функция имеет обратную тогда и только тогда, когда функция задает взаимно однозначное соответствие между множествами и Е. отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция и обратная ей изображаются одной и той же кривой, т.е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т.е. аргумент) обозначить через , а зависимую переменную через , то функция обратная функции запишется в виде .

Графики взаимно обратных функций и симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

 

1. Функция , определенная на множестве , называется четной, если выполняются условия и нечетной, если выполняются условия и .

График четной функции симметричен относительно оси , а нечетной – относительно начала координат.

Например, четные функции; а нечетные функции; функции общего вида, т.е. не четные и не нечетные.

2. Функция , определенная на множестве , называется периодической на этом множестве, если существует такое число , что при каждом значение и При этом число называется периодом функции. Если - период функции, то ее периодами будут также числа , где Так, для периодами будут числа Основной период (наименьший положительный) – это период . Вообще обычно за основной период берут наименьшее положительное число , удовлетворяющее равенству

3. Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором интервале если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. при имеет место неравенство f(x1)<f(x2) .

Функция y=f(x) называется невозрастающей, если на некотором интервале имеет место неравенство f(x1)≥f(x2) .

Функцияy=f(x) называется убывающейна некотором интервале, если для любых х из этого интервала большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е. при имеет место неравенство f(x1)>f(x2) .

Функция y=f(x) называется неубывающей, если на некотором интервале имеет место неравенство f(x1)≤f(x2) .

Функции только убывающие или только возрастающие называются монотонными.

4. Функцию , определенную на множестве , называют ограниченной на этом множестве, если существует такое число , что для всех выполняется неравенство (короткая запись: , , называется ограниченной на , если ). Отсюда следует, что график ограниченной функции лежит между прямыми и .





Дата добавления: 2014-12-26; Просмотров: 891; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2017) год. Не является автором материалов, а предоставляет студентам возможность бесплатного обучения и использования! Последнее добавление ‚аш ip: 54.80.230.230
Генерация страницы за: 0.095 сек.