Задачи на построение математической модели задач линейного программирования

1.2.1 Максимизация выпуска продукции при ограничениях на расход ресурсов.

Производственная ситуация: необходимо спланировать работу хлебокомбината на некоторый период. Установлен перечень выпускаемой продукции, известна рыночная цена каждого продукта. Для производства продукции используются ресурсы: мука, дрожжи, соль, сахар, яйца, электроэнергия, отопление, труд пекарей, и т.д. Установлен полный перечень этих ресурсов и общее количество каждого ресурса, которое может быть израсходовано в плановом периоде. Известен расход каждого ресурса на единицу каждого продукта. Необходимо определить, сколько каждой продукции нужно производить, чтобы суммарная рыночная стоимость всей продукции (выпуск, выручка) была наибольшей.

Введем обозначения:

j=1,...,n - номера (индексы) производимых продуктов;

i =1,...,m - номера (индексы) используемых ресурсов;

b_i - запас i-го ресурса, т.е. допустимый расход i-го ресурса в плановом периоде;

c_j - рыночная цена j-го продукта;

a_ij - расход i-го ресурса на производство единицы j-го продукта;

x_j - плановый объем производства j-го продукта, величина неизвестная, ее нужно найти в процессе решения задачи.

Все исходные данные можно представить таблицей:

Таблица 1.1

Ресурсы	Продукты производства	Запасы ресурсов
1	2	…j...	n
1	a11	a12	…..	a1n	b1
2	a21	a22	…..	a2n	b2
…..	…..	…..	…..	…..	…..
i	…..	…..	aij	…..
…..	…..	…..	…..	…..	…..
m	am1	am2	…..	amn	bm
Цена	c1	c2		cn

Рассмотрим числовой пример и сформулируем задачу линейного программирования.

Пример 1. Для изготовления пяти видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице.

Таблица 1.2

Тип сырья	Нормы расхода сырья на один вид выпускаемой продукции	Запасы сырья
А	Б	В	Г	Д
I
II
III
Цена изделия

Сформулируйте задачу линейного программирования по критерию «максимум рыночной стоимости всей продукции»

Решение:

Определим неизвестные величины - плановый объем производства видов продукции А, Б, В, Г, Д.

Мы хотим найти такой план производства , при которых суммарная стоимость продукции будет наибольшей. Появляется еще одно понятие – критерий оптимальности: это такой экономический показатель, по которому оценивается решение задачи. В данной задаче критерий оптимальности – общая стоимость продукции. Экономисты обычно говорят в таком случае о валовом продукте в денежном выражении. Если произведенная продукция будет продана по указанным ценам, то полученные деньги составят валовой продукт или выручку. Обозначим V – валовой продукт и запишем формулу для его вычисления в данной задаче:

В этом выражении цены умножаются на плановые объемы производства продуктов, и все суммируется. Данное выражение называют целевой функцией – это математическое выражение критерия оптимальности.

Теперь нам нужно записать математически то обстоятельство, что нельзя в производстве израсходовать больше ресурсов, чем их имеется. Запишем такое выражение для I-го ресурса:

Здесь слева от знака записан плановый расход I-го ресурса, а справа – наличие I-го ресурса. Смысл ограничения – нельзя израсходовать I-го ресурса больше, чем его имеется. Очевидно, что такие же ограничения должны быть записаны для II-го и III-го ресурсов.

Очевидно, что величины , при которых суммарная стоимость продукции будет наибольшей, могут принимать любые положительные значения и ноль, но никак не могут быть отрицательной величиной.

Теперь приступим к созданию экономико-математической модели, т.е. к математической записи экономической задачи.

Целевая функция

при ограничениях на ресурсы

1.2.2 Задача на составление рациональных смесей.

Пусть организация имеет возможность готовить различные виды смесей (продуктов) из закупаемых различных видов сырья. Каж­дый вид сырья содержит разное количество питательных компонентов (ингредиентов).

Установлено, что продукция должна удовлетворять по крайней мере некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Перед руководством организации стоит задача определить количество каждого i-го сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и ее питательности.

Введем условные обозначения: x_i — количество i-го сырья в смеси; т — количество видов сырья; п — количество ингредиен­тов в сырье; а_ij — количество j-го ингредиента, содержащегося в единице i-го вида сырья; b_j — минимальное количество j-го ингредиента, содержащегося в единице смеси; с_i — стоимость единицы i-го сырья; q — минимальный вес смеси.

В общем виде задача может быть записана

при следующих ограничениях:

- на общий расход смеси;

- на питательность смеси;

- на неотрицательность переменных.

Пример 2. Для жизнедеятельности человека среднего возраста ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг продуктов питания, а также стоимость этих продуктов в магазине приведены в табл. 1.3. Требуется выявить суточный рацион, содержащий не менее указанных выше необходимых питательных веществ и обеспечивающий минимальную общую стоимость закупаемых продуктов.

Таблица 1.3

Питательные вещества	Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов, г
Мясо	Рыба	Масло	Картофель	Сыр	Крупа
Белки
Жиры
Углеводы
Минеральные соли
Цена 1 кг продукта, руб

Обозначим через x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ количество покупаемого каждого вида сырья. Тогда целевая функция данной задачи должна обеспечить минимальные затраты на покупку продуктов питания - будет записана в виде:

при следующих ограничениях

Дата добавления: 2014-12-26