Математический анализ. Часть I

СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ

СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Курс «Математического анализа» общим объемом 288 часов, что соответствует общей трудоёмкости дисциплины - 8 зачётных единиц, изучается в течение 2 и 3 семестров обучения студентов - бакалавров по направлению 080100 «Экономика».

Вид промежуточной аттестации – экзамен, экзамен.

Вид учебной работы

Всего часов / зачетных единиц

Форма обучения

Очная

Очная

Курс/ семестр

1 курс/ 2 семестр

2 курс/ 1 семестр

Аудиторные занятия (всего)

104 / 2,9

В том числе:

Лекции

52 / 1,45

Практические занятия

52 / 1,45

Самостоятельная работа (часов)

112 / 3,1

Вид промежуточной аттестации/ часов на подготовку

72 / 2

Экзамен/36

Экзамен/36

Общая трудоемкость

в часах в ЗЕ

Раздел 1. Введение в анализ: множества, функции

1. Множества. Операции над множествами. Числовые множества. Свойства абсолютных величин. Окрестность точки.

2. Переменные и постоянные величины. Числовые функции. Элементы поведения и способы задания функции. Область опреде­ления и множество значений функции. Сложная и об­ратная функции. Характеристики функций: четность и нечетность, перио­дичность, монотонность, ограниченность.

3. Основные классы функций. Степенная, показательная и логарифмическая функции. Тригоно­метрические функции и обратные к ним. Элементарные функции. Свойст­ва основных элементарных функций.

4. Преобразование графиков функций. Примеры функций одной переменной в экономике.

Раздел 2. Предел и непрерывность функции

1. Последовательность. Способы задания. Формула сложных процентов.

2. Предел переменной величины. Предел последовательности. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Переход к пределу в неравенствах, теорема о трех последовательностях. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойства. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями. Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса о сущест­вовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е.

3. Предел функции в точке. Различные типы пределов: односто­ронние пределы, пределы в бесконечности, бесконечные пределы. Беско­нечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Основные свойства пределов функции: арифметические действия над пределами, ог­раниченность, переход к пределам в неравенствах. Предел сложной функции. Сравнение бесконечно малых функций: эквивалентные функции.

4. Первый и второй замечательные пределы. Формула непрерывных процентов.

5. Непрерывность функции в точке. Непрерывность суммы, разности, произведения и частного непрерывных функций. Непрерывность сложной и обратной функции. Непрерывность элементарных функций. Теорема о сохранении знака непрерывной функции. Точки разрыва функ­ции, их классификация.

6. Свойства функций, непрерывных на отрезке теоремы о сущест­вовании корня, о промежуточных значениях, об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений. Равномерная не­прерывность. Паутинные модели рынка.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Производная функции. Дифференцируемость и дифференциал функции. Непрерывность дифференцируемой функции. Правила диффе­ренцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций.

2. Геометрический смысл производной и дифференциала функции. Уравнение касательной к графику функции.

3. Предельные величины в экономике. Эластичность функции, ее свойства. Логарифмическая производная. Задача о распределении налогового бремени.

4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

5. Производные и дифференциалы высших порядков.

6. Локальный экстремум функции, теорема Ферма. Теоремы Ролля. Лагранжа и Коши.

7. Признак монотонности функции на интервале Достаточные условия локального экстремума.

8. Выпуклые (вогнутые) функции. Достаточные условия выпукло­сти функции. Необходимый и достаточный признаки существования точки перегиба.

9. Асимптоты графика функции Общая схема исследования функции и построения ее графика.

10. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

1. Пространство Rⁿ. Расстояние между точками в n-мерном пространстве. ε-окрестность. Внутренние и граничные точки множества. Открытые и замкнутые мно­жества. Изолированные и предельные точки множества. Ограниченные множества.

Сходимость точек в n-мерном пространстве.

2. Функции нескольких переменных. Область определения. Поверхности (линии) уровня функции. Элементарные функции нескольких переменных.

3. Предел и непрерывность функции нескольких переменных. Свой­ства функций, непрерывных на замкнутом ограниченном множестве ог­раниченность, достижение наибольшего и наименьшего значений.

4. Частные производные, дифференцируемость, дифференциал функции нескольких переменных. Достаточное условие дифференцируе­мости. Непрерывность дифференцируемой функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

5. Производная сложной функции. Производная по направлению, градиент. Свойства градиента.

6. Эластичности функции нескольких переменных.

7. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

8. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необ­ходимое и достаточные условия существования локального экстремума функций нескольких переменных.

9. Выпуклые множества в Rⁿ. Выпуклые (вогнутые) и строго вы­пуклые (вогнутые) функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия выпуклости. Достаточное условие строгой выпуклости дважды дифференцируемой функции. Критерий выпуклости (строгой выпуклости) квадратичной формы.

10. Экстремумы выпуклых (вогнутых) функций. Теорема о глобальном характере экстремума выпуклой функции. Теорема о достижении вы­пуклой функцией глобального экстремума в стационарной точке. Нера­венство Йенсена для выпуклых функций.

11. Условный экстремум функции нескольких переменных. Метод исключения переменных. Метод множителей Лагранжа.

12. Нахождение глобальных экстремумов дифференцируемой функ­ции на замкнутом ограниченном множестве.

13. Эмпирические формулы. Метод наименьших квадратов. Нахождение методом наименьших квадратов коэффициентов квадратичной и линейной зависимостей.

14. Функции нескольких переменных в экономическом анализе. Производственная функция. Функция полезности. Предельная полезность. Предельная норма замещения. Кривые безразличия.

Дата добавления: 2015-04-24