Вопрос 5:верхняя и нижняя грани

Аксиома отделимости. Для любых двух непустых множеств A и B в R, таких, что для любых выполнено неравенство, существует хотя бы одно такое число с, что для любых выполнено неравенство.

Впервые точный смысл утверждению, что прямая “непрерывна”, дал в 1872 году немецкий математик Ю. В. Р. Дедекинд. Отметив, что каждая точка прямой разбивает прямую на две части так, что каждая точка одной части расположена влево от каждой точки другой части прямой, Дедекинд пишет: “Я усматриваю теперь сущность непрерывности в обратном принципе, то есть в следующем: если все точки прямой распадаются на два класса такого рода, что каждая точка первого класса лежит влево от каждой точки второго класса, то существует одна и только одна точка, которая производит это разбиение прямой на два класса”. И далее: “… я решительно не в состоянии привести какое бы то ни было доказательство справедливости этого принципа, и никто не в состоянии этого сделать. Принятие этого свойства прямой лишь есть не что иное, как аксиома, посредством которой мы только и признаём за прямой её непрерывность”.

Итак, действительные числа представляют собой множество чисел с введёнными в нём операциями сложения, умножения, вычитания и деления, и отношением порядка, обладающими обычными законами (теми же, что для рациональных чисел). Кроме того, в нём справедлива аксиома отделимости.

Как отмечено выше, если ограничиться множеством рациональных чисел, то аксиома отделимости окажется неверна. Если множество рациональных чисел, меньших, чем , а множество рациональных чисел больших, чем , то эти множества отделяет друг от друга именно число , которое не является рациональным.

Как отмечалось выше, десятичные представления рациональных чисел являются либо конечными, либо бесконечными периодическими десятичными дробями. Естественно рассмотреть и все остальные, т.е. бесконечные непериодические десятичные дроби, которые представляют иррациональные числа. Таким образом, действительные числа можно представить в виде бесконечных десятичных дробей.

Вернёмся к задаче об измерении отрезков. Процесс измерения длины отрезка можно задать следующим алгоритмом. Расположим отрезок так, чтобы его начало совпадало с точкой O, а конец с точкой x. Начнём откладывать от точки O единичный отрезок. Пусть точка x окажется между точками с координатами и . Разобьём отрезок на десять равных частей. Точка x либо совпадёт с одной из точек деления, либо окажется между двумя из них. В первом случае процесс измерения закончен, во втором мы снова разобьём отрезок на 10 частей и продолжим аналогично. Если на каком-то шаге точка x совпала с одной из точек деления, то она будет изображена конечной десятичной дробью. В противном случае будет получена бесконечная десятичная дробь. И в том, и в другом случае точке прямой поставлена в соответствие бесконечная десятичная дробь. Задача об измерении отрезка получила своё решение.

Разумеется, выбор числа 10 в качестве основания системы счисления не является единственным, Как уже отмечалось в конце первого параграфа, широко используются двоичная, троичная системы счисления. Мы на этом вопросе останавливаться не будем.

Определение 5.1. Множество A ограничено сверху, если существует такое число M, что . При этом число M называется верхней границей или гранью множества A. Множество A ограничено снизу, если существует такое число m, что . При этом число m называется нижней границей или гранью множества A.

Легко видеть, что если множество A ограничено сверху (снизу), то любое число, большее M (меньшее m) тоже будет его верхней (нижней) границей.

Определение 5.2. Если множество A ограничено сверху, то наименьшая из его верхних граней называется точной верхней гранью A и обозначается sup A.

Дата добавления: 2015-04-24