Действительные числа

Одной из важнейших задач является задача измерения различных величин.

Сейчас мы рассмотрим подробнее задачу измерения отрезков. Если рассмотреть прямую на плоскости, ввести на ней точку отсчёта, обозначаемую O, и ввести отрезок единичной длины, то любому рациональному числу можно сопоставить единственную точку M этой прямой, потребовав, чтобы длина отрезка OM равнялась абсолютной величине этого числа и чтобы точка M лежала справа от точки O для положительного числа и слева от точки O - для отрицательного числа. На первый взгляд кажется, что рациональные точки заполняют собой всю прямую. Однако это вовсе не так. Длина диагонали квадрата со стороной единичной длины не может быть выражена никаким рациональным числом.

Докажем это утверждение, использовав метод от противного. Для этого предположим, что эта длина выражается числом вида , где натуральные числа не имеют общих делителей, кроме числа 1. Тогда, по теореме Пифагора, . Из последнего равенства следует, что - чётное число(иначе квадрат этого числа был бы нечётным числом вопреки этому равенству), т.е. . Следовательно, . Значит, также чётное число. Получено противоречие с предположением, состоящее в том, что оба числа - чётные.

Таким образом, для решения задачи об измерении длин любых отрезков множества рациональных чисел недостаточно. Придётся расширить множество рассматриваемых чисел, дополнив его новыми объектами, иррациональными числами. Нашей целью сейчас будет построение множества R действительных чисел (также называемых вещественными числами), которое будет объединением множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел, причём элементы множества действительных чисел будут находиться во взаимно-однозначном соответствии с точками прямой. Для этого нам потребуется дополнительная аксиома о непрерывности множества действительных чисел. Непрерывность множества R состоит в том, что в R нет “пустот”. А именно, справедливо следующее утверждение, которое мы примем за аксиому.

Дата добавления: 2015-04-24