Теорема 29.2. Пусть дифференцируема на и для всех выполняется неравенство . Тогда возрастает на

Теорема 29.1. Пусть функция дифференцируема на интервале. Она не убывает (не возрастает) на тогда и только тогда, когда для всех выполняется неравенство.

◄Пусть не убывает на (случай невозрастания рассматривается аналогично). Тогда рассмотрим произвольную точку и приращения такие, что . Если , то и .

Если , то , но все равно . Предел существует и равен . По теореме 9.1 этот предел .

Обратно пусть для всех выполняется неравенство . Пусть , . К отрезку можно применить теорему Лагранжа. Действительно, т.к. дифференцируема на , то она непрерывна на , а, значит, и на . Также по условию она дифференцируема на . Следовательно, .►

Теорема 29.1 допускает уточнение

◄Как и в предыдущей теореме, получаем, что для любых , , имеет место неравенство

.►

Замечание. Утверждать, что если функция возрастает, то для всех выполняется неравенство нельзя. Пример функции показывает, что хотя эта функция возрастает на всей прямой, есть точка , в которой ее производная равна 0.

Таким образом, даже возрастание функции гарантирует, по теореме 29.1, лишь нестрогое неравенство .

В теореме 23.1 установлено необходимое условие экстремума: Если функция имеет производную в точке экстремума , то .

Как показывает пример из предыдущего замечания, , это условие не является достаточным.

Дата добавления: 2015-04-24