Выпуклость дифференцируемой функции

Теорема 30.1. Для того, чтобы дифференцируемая на функция f была выпукла вниз (вверх) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы её производная функция не убывала (не возрастала) на этом интервале.

◄Доказательство проведём для выпуклой вниз функции. Докажем сначала, что её производная не убывает.

Пусть , . Переходя в неравенстве (4) к пределу при , получим:

. (5)

Переходя в неравенстве (4) к пределу при , получим:

. (6)

Из неравенств (5) и (6) следуют неравенства , что и требовалось доказать.

Обратно, пусть производная функция не убывает на . Пусть , . Следует доказать, что выполняется неравенство (4). Для этого заметим, что дифференцируема на , следовательно, непрерывна на и непрерывна на . Тогда по теореме Лагранжа, применённой к отрезку где , находим:

. (7)

Аналогично, по теореме Лагранжа, применённой к отрезку

. . (8)

Так как не убывает на , выполняется неравенство , из которого следует, ввиду (7) и (8), неравенство (4), равносильное выпуклости вниз рассматриваемой функции.►

Дата добавления: 2015-04-24