Пространство , множества в нем

Просьба перенумеровать, т.е заменить все 16. на 31.

Если при переходе через значение вторая производная меняет знак, то налицо перегиб. Если же знак не меняется, то перегиба нет.

Используя формулу Тейлора, так же, как при исследовании функции на экстремум, можно доказать следующее утверждение:

если , и если нечётное число, то в точке имеется перегиб, если же чётное число, то перегиба нет.

Напомним, что арифметическое n-мерное пространство представляет собой множество точек
Это векторное пространство с операциями суммы и произведения на число , определяемыми так

Более того это – евклидово пространство со скалярным произведением . Следовательно, определена норма вектора , равная
и расстояние между и ,заданное формулой

(31.1)

При и эта формула становится очевидной формулой для расстояний на плоскости и в пространстве, поэтому общую формулу (31.1) для расстояния можно рассматривать как естественное обобщение известных формул на случай n -мерного пространства.

В курсе линейной алгебры было доказано:

1. , причем ;

2. ;

3.

Свойство 3 называется неравенством треугольника.

Определение 31.1 Множество, на котором определена функция , обладающая свойствами 1-3, называется метрическим пространством,
а - метрикой (или расстоянием) а этом пространстве.

Итак, - метрическое пространство с расстоянием (31.1).

Определение 31.2 - окрестностью точки называется множество точек таких, что . Обозначим ее

Определение 31.3 Пусть . Тогда называется внутренней точкой этого множества, если .

Определение 31.4 - открытое множество, если все его точки – внутренние.

Примеры: интервал в , круг без границы в .

(())

Определение 31.5 Пусть . Точка называется предельной точкой множества , если .

Определение 31.6 называется замкнутым множеством, если оно содержит все свои предельные точки.

Примеры: отрезок в , круг с границей в .

Замечание. Часто вместо «круглых» окрестностей рассматривают «прямоугольные», т.е. .

Легко видеть, что каждую «круглую» окрестность можно вписать в «прямоугольную» и наоборот.

Определение 31.7 Множество называется компактным если из любой бесконечной системы открытых множеств такой, что можно выбрать конечное число так, что .

Иными словами, из любого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Теорема 31.1 компактно тогда и только тогда, когда оно ограниченное (т.е. содержится в некотором шаре с центром в начале координат) и замкнутое (без доказательства).

Дата добавления: 2015-04-24