Дифференциалы высших порядков

Пусть - имеет непрерывные производные в области . Тогда .(1)

При этом, если - независимые переменные, то можно считать постоянными величинами, не зависящими от . Поэтому , .

Пусть имеет непрерывные частные производные 2-го порядка. Положим по определению

.(2)

Здесь мы воспользовались тем, что .Например, при

, при n=3 .

Вообще, легко заметить, что, используя формальную операторную запись,

(3)

Аналогично, полагая , находим:

(4)

В предположении, что для существуют частные производные до k - го порядка включительно.

Доказательство этого утверждения можно провести индукцией по . Мы не будем подробно останавливаться на этом.

Отметим, что если (т.е. переменные не независимые, а представляют собой функции от других переменных), то, вообще говоря, они не равны 0 и, хотя ввиду инвариантности 1-го дифференциала, формула (1) сохраняется, уже в формулах (2) и (3) (не говоря о (4)) следует внести изменения.

Именно, вместо (3) в этом случае верна формула
(5).

«Добавок» по отношению к (3) получается, из-за того (см. вывод (2)), что в нашем случае
.

Однако, если (6), то и . Поэтому в случае линейной замены переменных (6) формулы (3) и (4) сохраняются.

Дата добавления: 2015-04-24