Экономико-математическая модель транспортной задачи

ТЕМА 2.3. ЗАДАЧИ ТРАНСПОРТНОГО ТИПА

2.3.1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 105

2.3.2. ИСХОДНЫЙ ОПОРНЫЙ ПЛАН 109

2.3.3. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ 110

2.3.4. МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ 116

2.3.5. ВЫРОЖДЕННЫЕ СЛУЧАИ. ОТКРЫТАЯ ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА 118

2.3.6. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 120

2.3.7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 130

Важным частным случаем задачи линейного программирования является так называемая транспортная задача.

Классическая транспортная задача – задача о наиболее экономном плане перевозок однородного продукта (или взаимозаменяемых продуктов) из пунктов производства в пункты потребления.

Экономико-математическая модель транспортной задачи в общем виде может быть сформулирована следующим образом:

Имеется m пунктов производства однородного продукта и n пунктов потребления. Для каждого пункта производства i задан объем производства А_i, для каждого пункта потребления j известна потребность (спрос) В_j (в тех же единицах измерения). Известны издержки с_ij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта i в пункт j.

Требуется составить план перевозок, обеспечивающий наиболее экономным путем (т.е. при наименьших транспортных издержках) удовлетворение всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного пунктами производства. При этом предполагается, что суммарный спрос (В=å_jВ_j) равен суммарному объему производства (А=å_iА_i). Такие задачи называются закрытыми транспортными задачами.

Что такое план перевозок? План перевозок определяет:

Сколько единиц продукта перевозится от каждого пункта производства к каждому пункту потребления, т.е. план представляется набором чисел х _ij (всего таких чисел m´n), где х _ij показывает, сколько единиц продукта должно быть перевезено от i-го производителя j-му потребителю. Отметим также, что в термин «транспортные издержки» (с_ij) не всегда вкладывается строгий экономический смысл. Это могут быть расстояния, тарифы, время, расход топлива и т.п. В каждой конкретной задаче оговаривается конкретный смысл коэффициентов с _ij.

Система ограничений примет вид

= А_i (i=1,2,…,m), (2.3.1)

= В_j (j=1,2,…n). (2.3.2)

Система (2.3.1) включает в себя уравнения баланса по поставщикам, а система (2.3.2) – по потребителям. Суммарные транспортные издержки выражаются в виде следующей линейной функции, которую необходимо минимизировать

F = à min (2.3.3)

Математическая модель транспортной задачи в общей постановке будет следующей: на множестве неотрицательных решений системы ограничений (2.3.1), (2.3.2) (мы будем называть такие решения допустимые) найти такое решение Х=(х ₁₁, х ₁₂,…, х _ij,…, х _mn), при котором значение целевой функции (2.3.3) минимально. Условия транспортной задачи весьма удобно представлять в табличной форме.

Таблица 2.3.1

Пункт произ- водства i	Объем произ- водства Аi	Пункты потребления j и их спрос Вj
		…	n
В1	В2	…	Вn
	А1	с11 х 11	с12   х 12	…	с1n   х 1n
	А2	с21   х 21	с22   х 22	…	с2n   х 2n
…	…	…	…	…	…
m	Аm	сm1   х m1	сm2   х m2	…	сmn   х mn

В левом верхнем углу произвольной клетки (i,j) (i – номер строки, j–номер столбца) стоит показатель транспортных затратс_ij, в правом нижнем – значения переменных х _ij(план перевозок). Любое решение Х=(х ₁₁, х ₁₂,…, х _ij,…, х _mn) системы ограничений (2.3.1) – (2.3.2) назовем распределением поставок.

Простой модификацией данной модели является модель процесса назначения. Речь идёт о назначении m различных специалистов на n мест работы при условии, что каждую работу должен выполнять лишь один специалист, и каждый специалист должен выполнять лишь одну работу. Приоритетная возможность i-го специалиста на получение j-й работы оценивается коэффициентами c_ij матрицы С. При моделировании таких процессов x _ij вводится как булевская переменная:

x _ij=

Правые части всех ограничений в этом случае равны 1.

А_i =1 (i=1,2,…,m), В_j =1 (j=1,2,…n).

Показательно, что, в отличие от решения транспортной задачи, попытка применения на производстве оптимального решения задачи о назначении привела к неожиданным социальным последствиям. Так бригады, где регулярно применялась подобная практика, месяца через три обычно разваливались, рабочие начинали оттуда бежать. Дело в том, что перечень работ изо дня в день практически оставался неизменным, следовательно, и оптимальное решение также не менялось. Таким образом, происходило закрепление определеeнных видов работ за конкретными рабочими, что приводило к существенной дифференциации в заработках и затрудняло желающим повысить свою квалификацию. Поэтому более "опытные" бригадиры, отслеживая потребности членов бригады, самостоятельно подбирали некоторым рабочим соответствующие работы, а для остальных рабочих и оставшихся работ решалась уже задача о назначении. Получавшееся решение естественно не было оптимальным, но зато в бригаде царил мир и порядок. Оптимальное же решение использовалось исключительно во время авралов и коммунистических субботников, т.е. в тех случаях, когда требовалось показать наивысшую производительность труда.

Можно указать достаточно много практических задач, решение которых может быть сведено к решению задачи о назначениях (распределние самолетов по авиалиниям, распределение министерских портфелей и т.п.).

Многими математиками, начиная с Халмоша, предлагалось использовать задачу о назначениях для составления супружеских пар (MarriageProblem), трактуя коэффициенты c_ij как "меру счастья" будущего союза. Правда, постановка задачи выглядела несколько искусственной, так как каждый раз приходилось фантазировать, чтобы оправдать необходимость массовых бракосочетаний. Однако реальная жизнь оказалась богаче подобных фантазий и основатель "Церкви унификации" кореец Сон Мьюонг Мун (он же Мун Сон Мен или просто Мун) уже около пятидесяти лет каждый год решает подобную задачу для тысяч своих последователей.

Рассмотрим простейший числовой пример транспортной задачи (таб. 2.3.2).

Здесь параметры задачи принимают следующие значения:

с₁₁ =2, с₁₂ =1, с₁₃ =5, с₂₁ =3, с₂₂ =4, с₂₃ =3, с₃₁ =4, с₃₂ =6, с₃₃=6;

А₁ =50, А₂ =60, А₃ =70, В₁ =40, В₂ =85, В₃=55.

Таблица 2.3.2

	2 х 11	1 х 12	5 х 13
	3 х 21	4 х 22	х 23
	4 х 31	х 32	6 х 33

Составим систему уравнений для этого примера.

Чтобы объем производства каждого поставщика был реализован, необходимо выполнение баланса по каждой строке таблицы, т.е.

х ₁₁ + х ₁₂ + х ₁₃ =50

х ₂₁ + х ₂₂ + х ₂₃ = 60 (2.3.4)

х ₃₁ + х ₃₂ + х ₃₃= 70

Аналогично, чтобы спрос каждого из потребителей был удовлетворен, подобные уравнения баланса выписываем для каждого столбца таблицы:

х ₁₁ + х ₂₁ + х ₃₁ = 40

х ₁₂ + х ₂₂ + х ₃₂ = 85 (2.3.5)

х ₁₃ + х ₂₃ + х ₃₃= 55

Суммарные транспортные затраты F ( целевая функция ) выражаются через издержки и поставки следующим образом:

F = 2 х ₁₁ + х ₁₂ + 5 х ₁₃ + 3 х ₂₁ +4 х ₂₂ + 3 х ₂₃ +4 х ₃₁ + 6 х ₃₂ + 6 х _33.

В этом примере шесть уравнений и девять переменных, система (2.3.4)–(2.3.5) имеет бесчисленное множество решений (допустимых поставок). Вот одно из них:

Таблица 2.3.3

	2	1	5
	3	4
	4	15	6

Суммарные транспортные затраты для данного распределения:

F = 2´40 +1´10 + 5´0 + 3´0 +4´60 + 3´0+4´0 + 6´15 + 6´55=750.

Всего в этом примере около 3600 только целочисленных решений, а если допустить дробность – то бесконечное множество. Все допустимые решения удовлетворяют системе ограничений, но отличаются друг от друга величиной суммарных транспортных издержек.

Вот еще одна допустимая поставка:

Таблица 2.3.4

	2	1	5
	3	4
	4	35	6

Суммарные транспортные затраты для данного распределения:

F = 1´50 + 3´40 +3´20 + 6´35 + 6´35=650.

Наша задача научиться находить оптимальное решение, т.е. такое, для которого целевая функция имеет наименьшее значение.

Дата добавления: 2015-04-24