Детерминированная статическая модель без дефицита

Экономическое содержание задач управления запасами.

ТЕМА 2.5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ЛОГИСТИКИ

2.5.1. ЭКОНОМИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАЧ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 163

2.5.2. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ БЕЗ ДЕФИЦИТА 165

2.5.3. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ СТАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ С ДЕФИЦИТОМ 167

2.5.4. ПРОСТАЯ ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ 168

2.5.5. ПРАКТИЧЕСКИЙ БЛОК 171

2.5.6. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ 176

Для обеспечения непрерывного и эффективного функционирования практически любой организации необходимо создание запасов. В любой задаче управления запасами требуется определять количество заказываемой продукции и сроки размещения заказов. Спрос можно удовлетворить путем однократного создания запаса на весь рассматриваемый период времени или посредством создания запаса для каждой единицы времени этого периода. Эти два случая соответствуют избыточному запасу (по отношению к единице времени) и недостаточному запасу (по отношению к полному периоду).

При избыточном запасе требуются более высокие удельные (отнесенные к единице времени) капитальные вложения, но дефицит возникает реже и частота размещения заказов меньше. С другой стороны, при недостаточном запасе удельные капитальные вложения снижаются, но частота размещения заказов и риск дефицита возрастают. Для любого из указанных крайних случаев характерны большие экономические потери. Таким образом, решения относительно размера заказа и момента его размещения могут основываться на минимизации общих издержек, включающих затраты, обусловленные потерями от избыточного запаса и дефицита.

В дальнейшем мы будем учитывать расходы трех типов:

1. Расходы, вызываемые оформлением и получением заказа при закупке или производстве.

2. Затраты на хранение запаса на складе. Сюда включаются, например, затраты на переработку, амортизационные и эксплуатационные расходы, процент на инвестированный капитал, расходы на страхование и налоги.

3. Расходы (штрафы), возникающие при истощении запасов, когда происходит задержка в обслуживании или спрос вообще невозможно удовлетворить. Эти расходы связаны с ухудшением репутации поставщика у потребителя и с потенциальными потерями прибыли.

Чрезвычайно трудно построить обобщенную модель управления запасами, которая учитывала бы все разновидности условий, наблюдаемых в реальных системах. Приведем (далеко не полный) перечень подобных условий:

1. Все затраты могут оставаться постоянными или изменяться от времени (например, в зависимости от сезона может меняться стоимость хранения продукции на складе). Затраты могут зависеть также от объема запасов (размером партии может, например, определяться оптовая скидка при покупке или стоимость хранения на складе).

2. Спрос может быть известным или неизвестным, постоянным (спрос на хлеб) или зависящим от времени (спрос на мороженое). Величина, характеризующая спрос, может быть как дискретной (плиты перекрытия), так и непрерывной (раствор).

3. Заказы на пополнение запасов могут выполняться немедленно или с определенной задержкой. Величина задержки может быть детерминированной или случайной. Заказы можно делать в любые или только в определенные моменты времени.

4. Процесс пополнения запаса может осуществляться мгновенно (заказы поступают от внешнего источника) или равномерно во времени (запасаемая продукция производится самой организацией). Размер заказа может измеряться дискретной или непрерывной величиной и может быть как постоянным, так и переменным.

5. В зависимости от отрезка времени, на котором можно надежно прогнозировать, период времени, в течение которого осуществляется регулирование уровня запаса, принимается конечным или бесконечным.

6. В систему управления запасами может входить несколько пунктов хранения запаса, образующих иерархическую структуру с различными периодами пополнения и временем поставки заказов, с возможностью обмена запасами между складами и т.п.

7. В системе управления запасами может фигурировать более одного вида продукции. Этот фактор учитывается при наличии зависимости между различными видами продукции. Так, для различных изделий может использоваться один и тот же склад или же их производство может осуществляться при ограничениях на общие производственные мощности.

Рассмотренные далее в этой теме модели соответствуют самым простым системам управления запасами. Маловероятно, что эти модели могут точно подойти для реальных условий, однако они приведены с целью разъяснения различных подходов к решению некоторых конкретных задач управления запасами.

Данная модель характеризуется постоянным во времени спросом, мгновенным пополнением запаса и отсутствием дефицита (т.е. нехватка товара не допускается, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик). Такую модель можно применять в следующих типичных ситуациях:

а) использование осветительных ламп в здании;

б) использование канцелярских товаров крупной фирмой;

в) использование таких промышленных изделий, как гайки, болты и т.п.;

г) потребление основных продуктов питания (например, хлеба и молока).

Предположим, что интенсивность спроса (в единицу времени) равна b. Пусть q – размер заказа, t_s – интервал времени между поступлениями заказов, R – полный спрос за все время планирования T. В данной модели наивысшего уровня запас достигает в момент поставки заказа размером q и падает до нуля спустя время t_s (рис.2.5.1).

q q q q q

t_s t_s t_s t_s t_s

Т

Рис. 2.5.1. Кривая запасов. Модель без дефицита.

Тогда q /2 – средний запас в течение t_s, b = R/Т, t_s = q/b.

Чем меньше размер заказа q, тем чаще нужно размещать новые заказы. Однако при этом средний уровень запаса будет уменьшаться. С другой стороны, с увеличением размера заказов уровень запаса повышается, но заказы размещаются реже. Так как затраты зависят от частоты размещения заказа и объема хранимого запаса, то величина q выбирается из условия обеспечения сбалансированности между двумя видами затрат (минимизации их суммы).

Пусть с₁ – затраты на оформление заказа, имеющие место всякий раз при его размещении (при покупке или производстве), с₂ – затраты на хранение единицы продукции в единицу времени, тогда суммарные затраты в единицу времени можно представить как функцию от q в виде:

с(q) = затраты на оформление заказа в единицу времени + затраты на хранение запасов в единицу времени =

= с₁/ t_s + с₂ q/2 = с₁b/q + с₂q /2. (2.5.1)

В точке минимума функции с(q) ее производная равна нулю:

c′(q) = –с₁b/q² + с₂/2 = 0,

откуда находим оптимальное значение размера заказа

q* = Ö2 с₁b/ с₂. (2.5.2)

Полученное выражение обычно называют формулой экономичного размера заказа Уилсона. Подставляя q* в (2.5.1) определим минимальные ожидаемые суммарные накладные расходы:

С* = Тс(q*) =ТÖ2с₁с₂b. (2.5.3)

Время расхода оптимальной партии равно

t_s* = q* /b = Ö2 с₁/(b с₂). (2.5.4)

Пример 2.5.1. Ежедневный спрос на некоторый товар составляет 100 ед. Затраты на размещение каждого заказа постоянны и равны 1000 руб. Ежедневные затраты на хранение единицы запаса составляют 0.2 руб. Требуется определить оптимальный размер партии, оптимальную продолжительность цикла поставок и вычислить минимум общих ожидаемых годовых затрат. Подстановка исходных данных примера в уравнения (2.5.2)-(2.5.4) нам дает

q* = Ö2´100´1000/0.2 = 1000 ед.

С* =365Ö2´100´1000´0.2 = 73000 руб.

t_s* = Ö2´1000/(100´0.2) = 10 дней.

Для большинства реальных ситуаций существует (положительный) срок выполнения заказа от момента размещения до его действительной поставки. Тогда необходимо определять точку возобновления заказа, как правило, через уровень запаса, соответствующий моменту возобновления заказа. На практике это реализуется путем непрерывного контроля уровня запаса до момента достижения очередной точки возобновления заказа.

Пример 2.5.2. Предположим в условиях примера 2.5.1, что срок выполнения заказа L равен 12 дням. Так как оптимальная продолжительность цикла составляет 10 дней, возобновление заказа в условиях налаженного производства происходит, когда уровень запаса достаточен для удовлетворения спроса на 12 – 10 = 2 дня. Таким образом, заказы размером q*=1000 должны делаться регулярно при достижении уровня запаса 2´100=200ед. После стабилизации системы можно считать, что срок выполнения заказа равен L – t_s* при L > t_s*. В описанных условиях в любой момент времени имеется более одного размещенного, но еще не выполненного заказа, и «эффективный» срок выполнения заказа принят равным 2 дням.

Дата добавления: 2015-04-24