Упражнения

Теорема 4. Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до порядка n+1 включительно, в некоторой d-окрестности точки. Тогда в этой d-окрестности справедлива формула Тейлора

(5)

где есть остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. При формулу (5) называют формулой Маклорена.

Замечание. Формула Тейлора (5) и остаточный член в форме Лагранжа в дифференциальной форме имеют вид

, .

Если функция имеет в точке производные любого порядка, то ряд

(6)

называют рядом Тейлора функции в точке . Если этот ряд сходится в окрестности точки к функции , то говорят, что в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора. При ряд (6) называют рядом Маклорена.

Пример 1. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение. 1 способ. Воспользуемся определением дифференциала второго порядка . Найдем дифференциал первого порядка функции . Для этого вычислим частные производные.

; .

Тогда

;

.

2 способ. Найдем дифференциал второго порядка, используя равенство (2). Вычислим частные производные второго порядка функции .

; ;

.

Имеем

.

Пример 2. Разложить по формуле Маклорена функцию , выписав слагаемые до третьего порядка включительно.

Решение. 1 способ. Функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными любого порядка в окрестности точки (0; 0), следовательно, по теореме 4 ее можно разложить по формуле Маклорена. Для этого найдем частные производные функции до третьего порядка в точке (0; 0).

; .

Заметим, что частные производные любого порядка по переменной в точке (0; 0) будут равны 1.

; ;

; ;

.

Положив , , , в формуле (5), получим требуемое разложение

,

где - остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа.

2 способ. Воспользуемся известными разложениями функций и по формуле Маклорена. В результате получим

.

I. Для функции проверить равенство .

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

II. Найти частные производные второго порядка следующих функций.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

III. Найти частные производные второго порядка следующих функций в точке .

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , .

IV. Найти указанную частную производную функции .

1) , ; 2) , ; 3) , ;

4) , .

V. Найти дифференциал n- ого порядка функции .

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , ; 5) , ; 6) , .

VI. Найти дифференциал второго порядка функции в точке .

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

VII. Найти дифференциал второго порядка сложной функции .

1) , , ; 2) , , ; 3) ; 4) , , .

VIII. Доказать, что уравнению Лапласа удовлетворяют следующие функции: 1) ; 2) ; 3) .

IX. Найти функцию , удовлетворяющую условиям:

1) , , ; 2) , , .

X. Разложить по формуле Тейлора функцию в окрестности заданной точки.

1) , ; 2) , ; 3) , ; 4) , .

XI. Разложить по формуле Маклорена функцию , выписав слагаемые до n -го порядка включительно.

1) , ; 2) , ;

3) , ; 4) , .

Дата добавления: 2015-04-24