Упражнения. I. Проверить, задает ли неявно уравнение в некоторой окрестности точки функцию

I. Проверить, задает ли неявно уравнение в некоторой окрестности точки функцию .

1) , M ₀(6; 2); 2) , M ₀(0; 0).

II. Найти производные первого и второго порядка функции , неявно заданной следующими уравнениями.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

III. Проверить, задает ли неявно уравнение функцию , и, если да, то найти ее частные производные.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .

IV. Найти в указанной точке уравнения нормали и касательной плоскости к поверхности , заданной неявно уравнением:

1) , M ₀(1; 1; 1); 2) , M ₀(3; -2; 2); 3) ; M ₀(1; 1; -2);

4) , ; 5) , ; 6) , .

V. Найти частные производные функций u = f (x; y), v = g (x; y), заданных неявно следующими системами.

1) 2) 3)

VI. Система уравнений

определяет дифференцируемые функции и такие, что и . Найти и .

VII. Показать, что конус и сфера касаются друг друга в точке .

Указание. Показать, что у этих поверхностей в точке M₀ общая касательная плоскость.

VIII. На поверхности найти точки, в которых касательная плоскость параллельна координатной плоскости xOz.

Дата добавления: 2015-04-24