Сложение колебаний одного направления

Сложение гармонических колебаний

Энергия и уравнение движения

Уравнение движения колебательной системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии Е (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно составить выражение для энергии Е, продифференцировать его по времени и потребовать, чтобы dE / dt = 0, поскольку Е = const. Это и приведет к искомому уравнению.

Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осциллятором лишь при условии U пропорционально х ², т.е. когда потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения из положения равновесия. Это условие, кстати, является и «энергетическим» критерием малых колебаний.

Векторная диаграмма

Решение ряда вопросов значительно облегчается и становится наглядным, если изображать колебания графически с помощью вектора-амплитуды а, вращающегося с угловой скоростью w против часовой стрелки. Если в момент t = 0 вектор а образует с осью Х угол a (рис.7), то проекция вектора а на ось Х изменяется со временем по гармоническому закону (1). Такой способ представления колебаний, называемый векторной диаграммой, удобно использовать при сложении колебаний одного направления.

Рис.7

Сложение колебаний

Рассмотрим два случая, когда частоты двух складываемых колебаний одинаковы или мало отличаются друг от друга.

1. Случай, когда w₁ = w₂ = w. В этом случае результирующее смещение

. (16)

Каждое из складываемых колебаний можно представить с помощью векторов а ₁ и а ₂, сумма проекций которых на ось Х равна проекции суммы векторов а ₁ + а ₂ = а (рис.8). Поскольку векторы а ₁ и а ₂ вращаются с одной и той же угловой частотой w, с той же угловой скоростью вращается и вектор а. Значит, результирующее колебание является тоже гармоническим и имеет вид

(17)

где а и a находим из рис.8:

(18)

(19)

Разность фаз d в данном случае не зависит от времени и равна

.

Рис.8

Из рис.8 и формулы (18) видно, что амплитуда а результирующего колебания существенно зависит от разности фаз d, достигая максимума при сложении синфазных колебаний и минимума при сложении синфазных колебаний и минимума при сложении «противофазных» колебаний. Из-за наличия последнего слагаемого в (18) энергия результирующего колебания не может быть представлена как сумма энергий складываемых колебаний, т.е. Е ¹ Е ₁ + Е ₂ (за исключением случая, когда d = p/2).

2. Случай, когда << w₁ и w₂. Здесь также результирующее колебание записывается формулой (18) и справедлив рис.8. Но поскольку теперь векторы а ₁ и а ₂ вращаются с немного отличающимися угловыми скоростями, модуль результирующего вектора а будет медленно изменяться от а _макс до а _мин, причем сам вектор а вращается с угловой скоростью, близкой к w₁ и w₂. Результирующее колебание уже не является гармоническим. Однако его все же можно рассматривать как гармоническое, но с медленно и периодически меняющейся амплитудой. Такие колебания называют биениями. Они показаны на рис.9 для случая а ₁ = а ₂.

Амплитуда колебаний описывается той же формулой (18), но в данном случае входящая в нее разность фаз d зависит от времени:

(21)

Промежуток времени между соседними моментами, когда амплитуда а максимальна, называют периодом биений t_б (рис.9). За это время разность фаз d изменяется на 2p (это следует и из векторной диаграммы). Значит, t _б = 2p. Отсюда период и частота биений:

(22)

Рис.9

Дата добавления: 2015-04-24