КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Метод итераций. Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций
Приведем систему (2.8) к виду, удобному для итераций
xk = φ k (x 1, x 2, …, xn), 1 ≤ k ≤ n. (2.11)
Выберем начальное приближение к корню (x 10, x 20, …, xn 0) и последующие приближения вычислим по формулам
xks +1 = φ k (x 1 s, x 2 s, …, xns), 1 ≤ k ≤ n, s = 0, 1, 2, … (2.12)
Приведем без доказательства достаточные условия сходимости метода итераций (более строгое изложение можно найти, например, в [1, 2, 3, 7, 9]). Обозначим точное решение системы (2.8) . Назовем ε-окрестностью точки множество точек x = (x 1, x 2, …, xn), удовлетворяющих условиям
.
Теорема 2.4. Пусть в некоторой ε-окрестности точного решения частные производные существуют и удовлетворяют одному из трех неравенств
(2.13)
где . Если начальное приближение принадлежит ε-окрестности точного решения, то метод простой итерации (2.12) сходится к точному решению. Пример 2.9. Решить систему уравнений методом простых итераций Решение. Выразим из первого уравнения y, а из второго — x:
Проверим условие сходимости (2.13). Найдем частные производные Так как при любых допустимых значениях переменных верно неравенство , то не существует значений аргументов, при которых выполняются условия (2.13). Следовательно, для системы нельзя гарантировать сходимость метода итераций. Выразим теперь из первого уравнения переменную x, а из второго — y и найдем частные производные:
Очевидно, что в окрестности точки x = 0,641; y = 0,801 условия (2.13) также не выполняются. Тем не менее, примем за начальные значения x = 0,641; y = 0,801 и выполним итерации. Заполним ячейки, как показано в таблице 2.11, выделим диапазон B 2: C 2 и протянем маркером заполнения вниз до 402-й строки(!). В таблице 2.12 приведены результаты расчетов. Они показывают, что метод итераций сходится, хотя и очень медленно.
Таблица 2.11
Таблица 2.12
Дата добавления: 2015-04-25; Просмотров: 592; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |