Динамика линейных систем автоматического управления

Свойства любой системы проявляются в процессе ее функционирования. Для построения системы регулирования (АСР) с необходимыми для ее эффективной эксплуатации свойствами требуется разработать ее структуру (какие устройства использовать и как их соединить друг с другом) и определить численные значения характеристик этих устройств. Эти разработки называются соответственно структурный и параметрический синтез АСР. При графическом отображении разрабатываемой структуры АСР она может отображаться в той степени подробностей, которая необходима для работы в каждом конкретном случае (рис. 13).

Рисунок 13 - Два варианта отображения одной АСР

На рисунке обозначено: ИМ - исполнительный механизм; ТП - технологический процесс, объект управления; Д - датчик; РЕГ - регулятор, - схема сравнения; х - регулируемые переменные, у - задаваемые значения переменных, f - внешние возмущения, u - регулирующие воздействия на объект.

Важно, что для любого варианта отображения на схеме и для большинства решаемых при синтезе АСР задач, каждая система состоит из так называемых звеньев, у которых есть входные и выходные переменные.

При воздействии внешней среды на входные переменные любой АСР в ней возникают различные процессы, которые проявляются в переходных процессах изменения выходных величин.

Рассмотрим возможную реакцию АСР на ступенчатое воздействие, подаваемое на один из ее входов. При этом выходной сигнал может меняться апериодически или при наличии нескольких колебаний, которые затухают. Такой характер изменения выходной координаты системы характерен для устойчивых АСР (рис. 14).

Рисунок 14 - Возможные переходные процессы для устойчивых АСР

Возможен случай, когда в системе возникают незатухающие колебания. АСР, обладающие таким свойством, называются консервативными (рис. 15).

Рисунок 15 - Переходной процесс в консервативной АСР

В некоторых системах на выходе характерно отсутствие постоянного или периодического сигнала в течение всего периода ее работы. Такие системы называются неустойчивыми (рис. 16).

Рисунок 16 - Характер изменения выходной неустойчивой АСР

Каков характер переходного процесса и обеспечивается ли его устойчивость – вот основные вопросы, которые рассматриваются при создании каждой конкретной АСР. Определить вид конкретных переходных процессов в создаваемой АСР можно, если знать математическое описание всех связей между всеми входными и выходными переменными величинами.

Как рассматриваемая система автоматического управления будет отрабатывать внешние воздействия, каков характер переходного процесса и обеспечивается ли его устойчивость – вот основные вопросы, которые рассматриваются при исследовании динамики систем автоматического управления.

Прямой путь решения этой задачи – это проведение натурных экспериментов с реальными системами автоматического управления. Однако проведение таких экспериментов с реальной системой экономически невыгодно, а с проектируемой – невозможно.

Поэтому эксперименты для изучения свойств АСР проводят не с реальными системам, а их моделями. Математическое описание любого элементарного звена или всей сложной систем управления представляет из себя дифференциальные уравнения, описывающие динамику изменений переменных.

Дифференциальное уравнение АСР или уравнение динамики ее движения – это уравнение, определяющее зависимость выходного сигнала от входной переменной . В общем виде оно может быть представлено как:

, где и – некоторые коэффициенты, значения которых в общем случае не являются постоянными.

Решение этого уравнения определяет поведение системы автоматического управления в динамических режимах работы.

Вводя в рассмотрение алгебраический оператор дифференцирования вида , получаем запись дифференциального уравнения в операторной форме:

. Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить связь между входной и выходной переменной АСР как

.

Это выражение не является абсолютно строгим, так как используется оператор p, выполняющий операцию дифференцирования.

Составление основных уравнений систем автоматического управления (АСР) может быть облегчено, если рассматривать ее как комбинацию динамических звеньев с определенными передаточными функциями.

Изображение АСР в виде совокупности динамических звеньев с указанием взаимосвязи между ними называется структурной схемой системы. Структурная схема может быть составлена на основе известных уравнений системы и, наоборот, дифференциальные уравнения могут быть получены из структурной схемы.

В дальнейшем для характеристики звена будет использоваться понятие передаточной функции, так как именно она дает связь между входной и входной переменными того или иного звена в АСР или всей системы в целом. Функция, связывающая один входной и один выходной сигналы АСР. Является формой записи системы дифференциальных уравнений АСР решенной относительно требуемой выходной координаты.

Для дифференциальных уравнений с нулевыми начальными условиями целесообразно применение преобразования Лапласа, которое выполняется с помощью выражения вида

, где — комплексная переменная.

Важным свойством преобразования Лапласа является замена операций интегрирования и дифференцирования делением и умножением на оператор Лапласа соответственно. То есть имеют место следующие соотношения:

.

При переходе к преобразованию Лапласа рассматриваются не временные функции входной и выходной переменной, а их изображению по Лапласу. Применяя преобразование Лапласа к дифференциальному уравнению, описывающему поведение звена в динамических режимах, получаем:

,

где – оператор Лапласа.

Теперь можно математически строго записать связь между изображениями входной и выходной величин:

.

Передаточной функцией звена или АСР называется отношение изображений по Лапласу переменных на выходе и входе динамического звена. Согласно определению передаточная функция определяется как

.

Для получения передаточной функции необходимо дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы или звена в динамических режимах. При заданной временной характеристики системы возможно использование таблиц, приведенных в различных учебниках по ТАУ и справочниках, связывающих и .

Передаточная функция может быть использована для решения широкого круга задач анализа и синтеза систем автоматического управления. С ее помощью можно определить как установившееся значения искомой переменной, так и проводить ее исследование во временной области.

Для определения установившегося значения координат в АСР необходимо определить значение изображения искомой переменной для случая, когда оператор Лапласа равен нулю.

.

Дата добавления: 2015-04-29