Следующие необходимое условие устойчивости

Необходимость: Чтобы система была устойчивой необходимо чтобы все . Для систем первого и второго порядка эти условия являются также и достаточными. При исследовании систем более высокого порядка этим условием можно пользоваться для отбрасывания заведомо неустойчивых систем.

Рассмотрим более сложное условие устойчивости. Введем систему вспомогательных параметров образуем их из четырех рядом стоящих коэффициентов характеристического уравнения.

Можно доказать, что при использовании этих параметров необходимое и достаточное условие устойчивости для системы

при

имеют вид: ;

имеют вид:

имеют вид:

Оказывается, что характер ограничения на параметр из условия устойчивости систем низкого порядка в основных чертах сохраняется об условиях устойчивости для систем более высокого порядка.

Рассмотрим ряд подобных ограничений в виде теорем которые служат только необходимым или достаточным условием устойчивости систем управления высших порядков.

Теорема 1:

Чтобы система была устойчивой необходимо чтобы выполнялось условие:

Теорема 2:

Для того чтобы система была устойчива необходимо чтобы выполнялось условие:

Достаточность: Из характеристического уравнения нормируем и образуем уравнения порядка пять вида:

Теорема 3:

Если корни всех уравнений (2) расположены в левой полуплоскости и для уравнения (1) выполнено условие:

Тогда система с характеристическим уравнением (1) устойчивая. Условия этой теоремы являются достаточными. Условие устойчивости через параметр для уравнения пятого порядка приведены выше следовательно достаточным условием устойчивости для системы энного порядка является выполнение совокупности следующих неравенств.

(3)

(4)

(5)

Вывод:

Достаточные условие устойчивости (3) (4) (5) просты и могут быть использованы для установления факта устойчивости систем высокого порядка. Количество необходимых для этого вычислений растёт лишь пропорционально порядку исследуемой системы. Теорема 3 даёт достаточное условие устойчивости линейной непрерывной стационарной системы.

Замечание: Областью достаточности построенных этим условием находятся внутри полной области устойчивости, однако, сужение области устойчивости незначительно и происходит за счёт отбрасывания зон с маленькими запасами устойчивости.

Дата добавления: 2015-04-29