Сравнительные результаты оценки систем 5 страница

Другими словами, задача классификации состоит в определении неких агрегированных состояний ОУ - в создании некоторого классификатора, эталона, по которому можно оценивать реальные состояния ОУ.

Термин «агрегирование» в первоначальном смысле означает объединение составных частей системы в рамках общей функциональной задачи. Применительно к задаче классификации этим термином обозначается объединение рада состояний объекта, обладающих теми или иными общими свойствами. Совокупность общих признаков, характеризующих некоторое множество реальных состояний объекта, назовем его агрегированным состоянием. Оно получается разбиением по определенным правилам всего множества состояний контролируемого объекта на ряд подмножеств. На основании анализа состояний, включенных в подмножество, формируется агрегированное состояние, в котором в той или иной форме запечатлены общие свойства всех состояний данного подмножества.

Согласно постановке задачи классификации требуется определение не конкретного состояния ОУ, а некоторого класса, в который данное состояние входит.

Таким образом, агрегированные состояния содержат в себе обобщенные признаки, которые характеризуют состояние ОУ. Именно эти состояния задают множество состояний объекта Е, подлежащих распознаванию при идентификации. Другими словами, множество агрегированных состояний задаёт виды состояний, с одним из которых отождествляется наблюдаемое состояние объекта, т.е. всякое агрегированное состояние является формальным представлением (изображением) соответствующего ему вида состояния.

Отдельные состояния, входящие в агрегированное состояние, должны находиться в отношении эквивалентности. Отношением эквивалентности называется бинарное отношение 2=УхУ, обладающее следующими свойствами:

· рефлексивностью ;

· симметричностью ;

· транзитивностью .

Отношение эквивалентности задает разбиение множества Y всех состояний объекта на непересекающиеся классы, каждый из которых содержит эквивалентные в том или ином смысле состояния ОУ, т.е. осуществляет факторизацию этого множества.

Таким образом, задание видов состояний для конкретного объекта заключается в факторизации множества его возможных состояний с учетом практических требований, вытекающих из существа задачи контроля.

Состояния объекта наблюдаются на множестве выходных сигналов Y, поэтому всякий элемент этого множества можно рассматривать как k -юточку n -мерного пространства, поскольку компоненты Y представляют собой численные значения наблюдаемых характеристик в выбранных контрольных точках, общее число которых п.

Каждому элементу множества Y (наблюдаемому состоянию объекта) ставится в соответствие определенный элемент множества Е, т.е. определенный вид состояния. Очевидно, что число задаваемых видов состояний должно соответствовать числу классов, получаемых при факторизации множества Y.

Обозначим получающиеся при этом фактор-множества через Y/Q. С учетом этого обозначения операцию факторизации можем записать в виде отображения

Принципы построения фактор-множеств основываются на теории алгебраических структур, в частности теории групп. В терминах данной теории множество Y является группой относительно ассоциативной операции сложения, определенной на этом множестве. Класс, содержащий эквивалентные по свойству Q состояния у_i Î Y, называется смежным классом или классом эквивалентности. Множество, образованное из классов эквивалентности Y, дает нам фактор-множество Y/Q, т.е. Y/Q = { Y }. Фактор-множество должно быть таким, чтобы искомое множество Е находилось с ним во взаимно однозначном соответствии. Это возможно, если отображение есть гомоморфизм, т.е. отображение, при котором сохраняется операция, заданная на множестве Y.

Необходимость выполнения этого условия является первым требованием при факторизации множества состояний объекта.

Для задания отношения эквивалентности необходимо определить разбиение множества Y на непустые, попарно не пересекающиеся части Y_j, j= 1, 2,..., т, обладающие теми или иными общими свойствами. В этом случае подмножества Y, являются смежными классами (классами эквивалентности), т.е. Y Í Y /Q.

При контроле требуется установить, какими свойствами из этих классов наблюдаемое текущее состояние объекта обладает в наибольшей степени. Для этого необходима соответствующая мера, одинаково применимая ко всем классам. Такой мерой может служить расстояние между точкой, изображающей наблюдаемое состояние объекта в некотором пространстве, и другими точками одного класса. При решении вопроса о принадлежности наблюдаемого состояния объекта одному из классов предпочтение отдается тому из них, к точкам которого испытуемая точка расположена ближе по сравнению с другими классами. Эта задача может быть решена тем успешнее, чем плотнее расположены точки, изображающие состояние одного класса, и чем более отдалены они от точек, изображающих состояния других классов. Иными словами, для решения задачи классификации классы Y _j должны обладать свойством компактности - представлять собой компактные множества в метрическом пространстве. Обеспечение компактности формируемых классов является другим требованием для факторизации множества состояний объекта. В общем случае это требование на практике не выполняется. Поэтому формируемые классы преобразуются в компактные классы на основе принципа сжимающих отображений.

Сжимающее отображение полного метрического пространства Y в себя имеет единственную неподвижную точку в каждом из классов. Эти точки являются наилучшим приближением к любой точке данного класса и могут рассматриваться как изображение в пространстве Y агрегированного состояния i -го класса. Воздействуя сжимающим отображением на каждое из наблюдаемых состояний y(t) объекта, принадлежащих i -му классу, получим множество преобразованных состояний, также принадлежащих i -му классу, но уже удовлетворяющих требованию компактности. Вновь испытуемое состояние y(t) объекта, о котором неизвестно, к какому классу оно относится, также должно быть преобразовано с помощью сжимающего отображения.

Решение о принадлежности состояния ОУ одному из классов принимается по критериям (решающим правилам) на основе измерения расстояний от испытуемой точки до неподвижных (центральных) точек каждого класса.

Поиск неподвижной точки может быть осуществлен и другими способами, рассматриваемыми в теории классификации (методами стохастической аппроксимации, обучения и т.д.), но все они в той или иной мере используют идею принципа сжимающих отображений.

Отметим, что сжимающим отображением является, например, матрица преобразования U, составленная из собственных векторов корреляционной матрицы измеряемых параметров объекта, причем эти векторы упорядочены в матрице по убыванию соответствующих им собственных чисел.

3. Решение задачи идентификации (распознавания образов). Третьей задачей, решаемой в процессе контроля, является задача идентификации, которая в прямой постановке заключается в определении оптимальной в некотором смысле оценки преобразования ф по реализации входных х и выходных у характеристик объекта.

Формально это преобразование задается отображением

где S - оценка реального состояния, полученная на основе измерения входных и выходных характеристик объекта.

Другими словами, определенному виду состояния объекта Е преобразование Y ставит в соответствие вполне конкретное решение S о его истинном состоянии с учетом вероятностных характеристик возможных ошибок при контроле, погрешностей выполняемых измерений и помех.

Условно эту задачу можно назвать этапом построения модели контролируемого объекта и непосредственного контроля ОУ. По принятой терминологии процесс построения модели объекта называется идентификацией оператора j.

На практике оператор j идентифицируется путем отождествления обусловленного им состояния ОУ с одним из априорно заданных классов состояний по результатам измерений входных и выходных характеристик.

В ряде случаев точные результаты дает контроль по параметрам модели ОУ (например, по отклонениям от требуемого состояния). В этих случаях по результатам измерения входных и выходных сигналов ОУ (последний предполагается полностью наблюдаемым) определяется закон его функционирования, который непрерывно сравнивается с законом, заданным теоретически, и по результатам сравнения принимается решение о правильности функционирования объекта. Здесь имеет место решение задачи идентификации в прямой постановке.

4.2.4. МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Методы прогнозирования могут основываться на предположении о предстоящих качественных изменениях системы или на сохранении в будущем существующих закономерностей развития. В первом случае (для долгосрочных прогнозов) используются экспертные и логические методы. Во втором случае (для краткосрочных и среднесрочных прогнозов) - методы экстраполяции.

Экспертные методы прогнозирования опираются на методы качественного оценивания систем, рассмотренные в главе 2. Наиболее часто используются разновидности метода Дельфи и метод сценариев в сочетании со статистическими методами.

Логические методы прогнозирования основываются на проведении аналогии функционирования рассматриваемой системы с историей функционирования какой-либо другой системы.

Методы экстраполяции относятся к аналитическим методам прогнозирования состояния систем. Примером экстраполяции служит прогнозирование значений какой-либо величины по имеющимся табличным данным. В качестве исходной информации при этом берутся временные ряды динамики параметров системы - набор наблюдений некоторых числовых характеристик (параметров) системы, взятых в равноотстоящие или неравноотстоящие моменты времени за определенный период.

В основе методов экстраполяции лежит понятие интерполирования. Известно, что интерполированием называется процесс вычисления промежуточных значений функции на основании заданного ряда значений этой функции. В широком смысле слова интерполирование - это представление некоторой функции известного или неизвестного вида, ряд значений которой при определенных значениях независимой переменной задан, при помощи другой, более простой функции.

Пусть у = f (х) будет функцией, заданной рядом значений у ₀, у ₁, …, у _n,которые она принимает при значениях x ₀, x ₁, …, x _n независимой переменной х, и пусть j(x) обозначает произвольную более простую функцию, принимающую для x ₀, x ₁, …, x _n те же самые значения, что и у = f (x). Замена у = f (x) в пределах данного интервала на j (х) и есть интерполирование.

Формула у= j(х), которая при этом получается для вычисления значений у, называется интерполяционной формулой.

Функция j(х) может иметь различный вид. Когда j (х) есть полином, процесс замещения f (х) через j(х) называется параболическим, или полиномиальным, интерполированием. Когда j(х) есть тригонометрический полином, процесс называется тригонометрическим интерполированием. Функция j(х) может быть также составлена из показательных функций, полиномов Лежандра, функций Бесселя и т.д. В практических задачах в качестве j (x) выбирается простейшая функция, могущая заменить данную функцию на рассматриваемом интервале. Так как самой простой функцией является полином, почти все основные интерполяционные функции являются полиномиальными. В случае, когда известно, что данная функция f (x) периодична, лучше заменить ее тригонометрическим полиномом.

Теоретическое обоснование замены данной функции полиномом или тригонометрическим полиномом опирается на две замечательные теоремы, доказанные Вейерштрассом в 1885 г. Эти теоремы можно сформулировать так.

Теорема 1. Любая непрерывная в интервале (а, b)функция может быть заменена в нем с любой степенью точности полиномом.

Другими словами, можно найти такой полином Р(х), что | f (х) - Р(х) | < e для каждого значения x в интервале (а, b), причем e есть любая положительная величина.

Теорема 2. Любая непрерывная с периодом 2p функция может быть заменена тригонометрическим полиномом вида

так, что | f (х) - g (х)| < e для каждого значения x в рассматриваемом интервале, причем e есть любая положительная величина. Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что если нанести графики функций у = f (х), у = f (х)+e и у = f (х)-e, то можно найти многочлен или тригонометрический многочлен, график которого будет находиться внутри области, ограниченной кривыми у = f (х), у = f (х)+e и у = f (х)-e при всех значениях x между а и b, как бы мало ни было e (рис. 4.4).

При таком представлении процесса интерполирования становится понятно, что экстраполирование - это процесс вычисления значения функции, находящегося за пределами рада заданных значений.

Экстраполирование нужно применять с осторожностью. Но если известно, что функция около концов данного рада значений изменяется плавно, и если Dx берется достаточно малым, то можно спокойно экстраполировать на расстояние Dx за пределами рада имеющихся значений.

Для проведения интерполирования существует рад формул, рассматриваемых в численных методах математического анализа. При их применении в прогнозировании следует учитывать, что если число точек x ₀, x ₁, …, x _n неограниченно возрастает, то интерполирующий полином превращается в бесконечный рад, называемый интерполяционным радом. И подобно тому как степенной рад сходится внутри и расходится во вне некоторого определенного интервала, так и интерполяционный рад сходится к заданной функции внутри некоторого интервала и перестает к ней сходиться вне его.

Поскольку увеличение периода упреждения прогноза Dx влечет за собой увеличение степени неопределенности процессов развития системы, то в методах экстраполяции выделяют статистические методы.

Статистические методы прогнозирования опираются на теорию вероятностей, математическую статистику и теорию случайных процессов.

К статистическим методам прогнозирования относят:

· методы многофакторного анализа (регрессионные модели, адаптивное сглаживание, метод группового учета аргументов, имитационные модели, многомерная фильтрация и др.);

· методы однофакторного прогнозирования (экспоненциальное сглаживание, метод скользящего среднего, метод разностных уравнений, спектральные методы, метод Марковских цепей, оптимальные фильтры, сплайн-функции, метод авторегрессии и др.).

Теория случайных процессов имеет дело с исследованием структуры семейств случайных величин Х_t , где t - параметр, принадлежащий множеству Т. Случайные процессы, у которых Т - [0,¥), особенно важны для прогнозирования. При этом t интерпретируется как время. Реализацией, или выборочной функцией, случайного процесса { X_t, t Î T} является функция, ставящая в соответствие каждому t Î Т одно из возможных значений X_t. Множество параметров T может быть дискретным, a { X_t }может при этом представлять исходы последовательных испытаний, таких, как результаты бросания монеты, последовательность состояний системы при различных воздействиях и др. Например, в случае когда Х_п является исходом n-гo бросания монеты, возможные результаты образуют множество{1, 2, 3, 4, 5, 6}, а одной из типичных реализаций процесса является последовательность 5,1,2,2,4,1,6,3,6,....

Другим весьма важным примером случайного процесса, непрерывного по времени (Т - [0,¥),), является пуассоновский процесс. Его выборочная функция X_t представляет собой число регистрации наступления некоторого события за период от 0 до текущего момента времени t. Очевидно, всякая возможная реализация X_t есть неубывающая ступенчатая функция. Общее число наступлений события возрастает только единичными скачками, а Х ₀ = 0. Конкретными примерами наблюдаемых величин, образующих подобного рода процессы, являются число телефонных вызовов из данного района, число происшествий на данном перекрестке, число ошибок на странице машинописного текста и т.д. Свойствами пуассоновских процессов являются:

· независимость числа наступлений события в некотором интервале от числа наступлений этого события в любом другом, не пересекающемся с ним интервале;

· вероятность того, что за период времени h произойдет по меньшей мере одно событие, есть причем g(t) = o (t) при t®0 означает, что lim g(t)/t = 0;

· вероятность того, что за время h произойдут два или более событий, есть о(А), что означает невозможность одновременного появления двух и более событий.

Если перечисленные условия выполняются, то в качестве прогноза может быть получена вероятность P_m (t) того, что за время t произойдет ровно т событий. Эта вероятность равна

где а - параметр процесса, причем p(t)/t = 0;

В частности, среднее число наступления события за время t равно at.

Модель пуассоновских процессов совместно с порядковыми статистиками используется для решения задачи о баллотировке (выборах). Многомерные пуассоновские процессы используются в астрономии.

Одной из основных моделей случайных процессов, используемой в прогнозировании, является модель марковских цепей. Такими моделями описывается большое количество физических, биологических, экономических, технических и других явлений.

Дискретная марковская цепь представляет собой марковский случайный процесс, пространство состояний которого счетно или конечно. Кроме того, множество индексов T =(1, 2,3,…).

Марковский процесс - это процесс, обладающий тем свойством, что если известно значение случайной величины Х_t , то значения X_S, s > t, не зависят от Х_u, u< t, другими словами, вероятность любого события, связанного с будущим поведением процесса, при условии, что его настоящее состояние точно известно, не изменится, если учесть дополнительную информацию относительно прошлого этого процесса.

Формально процесс является марковским, если

Классическими примерами цепей Маркова являются процессы рождения и гибели (прогнозирование численности популяции организмов), ветвящиеся процессы (моделирование электронных умножителей, развитие нейтронной цепной реакции, развитие биологических систем), броуновское движение (физические и социальные процессы), вероятностные модели мутаций и роста, модели иммиграции и роста популяции, описание генетического механизма, модели экологических процессов, системы массового обслуживания.

При использовании моделей случайных процессов предполагается знание законов распределения случайных величин. К сожалению, во многих реальных системах, в частности в ИС, знание этих законов не полно. В таких условиях применяются методы прогнозирования, основанные на неравенстве Чебышева, представляемом как

или как

где М_х - математическое ожидание; D_x - дисперсия случайной величины.

Особенность приведенных выражений заключается в том, что они способны аппроксимировать любой закон распределения и, следовательно, заменить его собой. Достаточно знать только М_х и D_x, чтобы построить нужную аппроксимацию. При этом сохраняются простота модели, умеренные требования к исходным данным, однозначность рекомендаций. Однако следует понимать, что применение неравенства Чебышева дает возможность получить лишь ориентировочные оценки прогнозируемой величины и затрудняет оценку погрешности прогноза.

Рис. 4.5. Логистическая кривая: y₀=a /(l+ b)

В случае когда требуется получить долгосрочный прогноз развития какого-либо процесса, часто используется аппроксимация логистической зависимостью, называемой также сигмоидальной (S -образной) функцией

где а, b, с - некоторые положительные величины, выбираемые в соответствии с имеющейся информацией об изучаемых явлениях.

Особенностью логистической кривой (рис. 4.5) является то, что существует предел а, к которому стремятся значения исследуемой переменной у, например, население Земли, рост производительности труда, уровень возбуждения искусственного персептрона в нейронных сетях, при x ®¥.

Использование логистической кривой облегчает поиск приемлемых оценок будущего. Однако следует помнить, что в жизненном цикле систем существуют периоды сравнительно медленных эволюционных изменений и периоды скачкообразных изменений состояния.

Каких-либо универсальных формальных правил надежного прогнозирования скачкообразных изменений состояния систем в настоящее время не существует. Однако в ряде случаев для прогнозирования таких изменений используются модели теории катастроф.

В литературе описывается использование теории катастроф в оптике, лингвистике, экономике, гидродинамике, эмбриологии, экспериментальной психологии, геологии и других предметных областях. Однако имеется также много публикаций, специально посвященных критике этой теории.

Математически катастрофа, под которой понимается резкое качественное изменение системы (например, возникновение дискретных структур из непрерывных, гладких) в ответ на плавное изменение внешних условий, описывается теориями особенностей и бифуркаций.

Теория особенностей - обобщение исследования функций на максимум и минимум, в которых функции заменены отображениями (набором нескольких функций нескольких переменных). Родоначальником этой теории считается американский математик Уитни.

Пример особенности, называемой сборкой Уитни, которая получается при проектировании на плоскость поверхности, приведен на рис. 4.6. Эта поверхность (рис.4.6, а) задана формулой в пространстве с координатами (x ₁, x₂, у₁)и проектируется на горизонтальную плоскость (х₂,, у₁).

Таким образом, отображение задается в локальных координатах формулами

На горизонтальной плоскости-проекции (рис. 4.66) выделяется полукубическая парабола с точкой возврата (острием) в начале координат. Эта кривая делит горизонтальную плоскость на две части: меньшую и большую. Точки меньшей части имеют по три прообраза (в них проектируются три точки поверхности), точки большей части - лишь по одному, точки кривой - по два. При подходе к кривой из меньшей части два прообраза (их трех) сливаются и исчезают (в этом месте особенность - складка), при подходе к острию сливаются все три прообраза.

Рис. 4.6. Сборка поверхности (а) и проектирование ее на плоскость (б)

Схема большинства применений теории особенностей в прогнозировании основывается на предположении, что изучаемый процесс описывается с помощью некоторого числа управляющих и внутренних параметров. Состояния равновесия процесса образуют поверхность того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности. Предполагается, что это особенности общего положения, а не исключительные. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», т.е. перескоков из одного состояния равновесия в другое при изменении управляющих параметров. Предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом в таких областях, как хлопки упругих конструкций, опрокидывание кораблей и др. Однако в биологии, психологии, социальных науках как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.

Слово «бифуркация» означает раздвоение и употребляется для обозначения всевозможных качественных перестроек или метаморфоз различных объектов при изменении параметров, от которых они зависят.

Например, пространство состояний нелинейной динамической системы, описываемой выражением:

где п интерпретируется как момент времени, может выглядеть в зависимости от параметров a и b так, как это показано на рис. 4.7.

Из рис. 4.7, а видно, что на интервале времени n =[0, 2000] множество допустимых состояний системы при a=1,4, b=0,2388 группируется в семь отчетливо выделяемых значений, переходящих друг в друга (образующих предельный цикл). Прогноз состояний системы, определяемых как совокупность значений х_i и у_i, i =[0, ¥), в этом случае не представляет труда. Изменение коэффициента b на небольшую величину приводит к резкому качественному изменению пространства состояний, когда вместо семи появляется 2000 значений (рис. 4.7, б).

Прогнозирование состояний возможно и в этом случае, однако носит несколько иной характер. Моделирование проводилось в среде LabVIEW 4.0.1 на Pentium 133, Windows 95.

Нелинейная динамическая система (4.7) представляет собой модифицированное отображение Хенона (странный аттрактор) -модель детерминированного хаоса, в которой при одних и тех же значениях параметров и начальных условиях решения носят случайно-подобный характер. Однако при повторении тех же начальных условий и сохранении прежних значений параметров системы эти случайно-подобные решения всякий раз будут повторяться. Именно такой установившийся режим движения получил название странного аттрактора (притягивателя) - множества состояний, которое притягивает соседние режимы в фазовом пространстве и отличается от состояния равновесия и строго периодических колебаний.

При использовании любых методов прогнозирования возникают проблемы, связанные с оценкой качества прогноза. Эти проблемы решаются в процессе верификации прогноза - по совокупности критериев, способов- и процедур, позволяющих на основе многостороннего анализа оценить достоверность, точность и обоснованность прогноза. В управлении качество прогноза может оцениваться по результату его использования для целей планирования и оперативного управления.

Общие методы верификации прогнозов пока не выработаны. Однако считается, что прогнозный доверительный интервал не может быть меньше определенной величины, зависящей от инерционности, связности, сложности системы, устойчивости динамики и т.д. Так, чем более инерционной является система, тем более гладкой и устойчивой представляется траектория ее изменения, и, следовательно, вероятность попадания прогнозируемой величины в доверительный интервал больше.

В странных аттракторах из-за того, что кривизна многомерной поверхности, по которой движется точка, отображающая состояние системы, по многим направлениям отрицательна, происходит быстрое разбегание траекторий. Это, в свою очередь, приводит к плохой предсказуемости движения по начальным условиям. В частности, из этого вытекает практическая невозможность долгосрочного динамического прогноза погоды: для предсказания на 1 - 2 месяца вперед нужно знать начальные условия с погрешностью 10'⁵ от погрешности предсказания.

Дата добавления: 2015-04-29