Уравнения дискретных СУ

СУ, в которых применяется дискретизация импульсами, реализуются с помощью импульсной модуляции. При импульсной модуляции непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов, изменяющихся в зависимости от модулируемого сигнала. Существуют различные способы импульсной модуляции. В зависимости от того, какой из параметров последовательности импульсов изменяется по закону изменения модулирующей величины, различают следующие виды импульсной модуляции:

1) амплитудно-импульсную модуляцию – АИМ (амплитуда импульса пропорциональна входному сигналу: A = f(x) при T = const, Т_имп = const);

2) широтно-импульсную модуляцию – ШИМ (длительность импульса пропорциональна входному сигналу: Т_имп = f(x) при A = const, T = const);

3) временную импульсную модуляцию – ВИМ

Ограничимся рассмотрением одной из них часто применяемой, а именно, амплитудно - импульсной модуляцией. Этот способ модуляции основан на замене непрерывного сигнала f (t) последовательностью импульсов, следующих друг за другом с постоянным интервалом времени T (показано на рисунке). Амплитуда этих импульсов пропорциональна значениям модулируемого сигнала f (t) в дискретные моменты времени t = nT.

Если s (t) – функция, описывающая форму одиночного импульса, то сигнал y (t), получаемый в результате амплитудно-импульсной модуляции сигнала f (t), может быть представлен следующим выражением

. (1)

Устройство, в котором осуществляется импульсная модуляция, называется импульсным элементом. Импульсные системы автоматического регулирования можно представить как соединение импульсных элементов с элементами непрерывного действия.

Ниже показаны примеры структурных схем импульсных систем с одним импульсным элементом (ИЭ – импульсный элемент, НЧ – непрерывная часть системы).

а. Разомкнутая импульсная система б. Замкнутая импульсная система

Для описания импульсных систем применяется два эквивалентных способа. Первый состоит в описании системы с помощью разностных уравнений. Второй – в описании импульсной системы с помощью преобразования, содержащего суммы решетчатых функций и аналогичного интегральному преобразованию (интеграл Дюамеля).

Для облегчения анализа импульсных систем вводится понятие простейшего импульсного элемента. Простейший импульсный элемент описывается как было выше сказано уравнением

,

где δ (t) – дельта-функция. Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение обычного импульсного элемента, хотя и не может быть реализовано никаким реальным устройством.

Реальный импульсный элемент, описываемый уравнением (1), можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента и непрерывного устройства с весовой функцией s (t). Уравнение такого соединения будет иметь вид

,

что совпадает с уравнением (1).

Непрерывный элемент с весовой функцией s (t) называется формирующим элементом. Разомкнутую импульсную систему можно представить в виде последовательного соединения простейшего импульсного элемента, формирующего элемента и непрерывной части. Непрерывную часть и формирующий элемент обычно объединяют в приведенную непрерывную часть импульсной системы (ПрНЧ).

Составим уравнение разомкнутой импульсной системы с одним импульсным элементом в предположении, что непрерывная часть системы описывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами. В этом случае сигнал на выходе непрерывной части будет описываться интегральным преобразованием

,

где – весовая функция рассматриваемой непрерывной системы регулирования, а функции (i = 1, 2, 3, …, k) образуют фундаментальную систему решений однородного дифференциального уравнения a ₀ x^k (t) + a ₁ x ^{( k –1)}(t) + … + a_k x = 0, причем постоянные c_i (i = 1, 2, 3, …, k) определяются начальными условиями.

Подставляя в это уравнение выражение для импульсного элемента, получим уравнение разомкнутой импульсной системы

или для нулевых начальных условий

где k (t) – имеет смысл весовой или импульсной переходной функции приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы.

Можно показать, что если продолжительность импульса s (t) модулирующей последовательности мала, весовая функция приведенной непрерывной части k (t) приближенно может быть заменена весовой функцией непрерывной части k _н(t), умноженной на постоянный коэффициент, равный площади импульса: .

Перейдем в рассматриваемом уравнении к относительному масштабу времени и введем обозначения

.

В этом случае уравнение разомкнутой импульсной системы будет иметь вид

или при записи с помощью решетчатых функций, принимая

Учитывая, что при , можно заменить бесконечную сумму на конечную с пределом суммы n (при ε = 0 это уравнение связывает входную g ₁[ m ] и выходную x ₁[ n ] величины импульсной системы в дискретные моменты времени)

Приведенное уравнение позволяет определять процессы на выходе системы по известному входному воздействию.

Пример.

1. ; ;

2. ; ;

1. → →

→

2. , причем →

→ → .

→ – разностное
уравнение
системы

Дата добавления: 2015-04-29