Некоторые сведения из теории вероятностей и математической статистики

Оценка случайных погрешностей

Если систематическую погрешность скорректировать, то останется случайная погрешность. Так как она не может быть предопределена ни по абсолютной величине, ни по знаку, результат измерения является в некоторой мере недостоверным. Однако при статистическом рассмотрении погрешность можно указать, с какой вероятностью погрешность остается ниже определенного значения. Недостоверность измерения – это размер погрешности, который не будет превышен с определенной степенью вероятности.

Случайные погрешности измерения представляют собой случайные величины. Случайная величина – это величина, которая в результате испытания принимает одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от СВ, которые заранее не могли быть учтены. СВ может быть дискретной (принимающей отдельные изолированные возможные значения с определенными вероятностями) или непрерывной (может принимать все значения из некоторого промежутка) [4].

Закон распределения дискретной СВ – соответствие между возможными значениями СВ и их вероятностями :

Если в одном испытании СВ принимает одно и только одно возможное значение, т.е. события образуют полную группу, то . Математическим ожиданием (МОЖ) дискретной СВ называют сумму произведений всех возможных значений на вероятности:

.

Дисперсией (рассеянием) дискретной СВ называют разность между МОЖ квадрата СВ и квадратом ее МОЖ:

;

.

Среднее квадратическое отклонение (СКО) СВ называют квадратный корень из дисперсии: . Дисперсия и СКО характеризуют рассеяние возможных значений СВ вокруг ее среднего значения.

Среднее арифметическое СВ

.

МОЖ среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых СВ (погрешностей) равно МОЖ каждой из СВ:

.

Дисперсия среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых СВ (погрешностей) в раз меньше дисперсии каждой из величин:

.

СКО среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых СВ в раз меньше СКО каждой из величин:

.

Функцией распределения вероятностей непрерывной СВ называют функцию , определяющую вероятность того, что СВ в результате испытания примет значение, меньшее :

.

Функция распределения называется интегральной функцией.

СВ называется непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной. Функция распределения имеет свойства:

1. ;

2. - неубывающая функция: при .

Вероятность того, что СВ примет значение, заключенное в интервале , равна приращению функции распределения на этом интервале:

.

3. Если возможные значения СВ принадлежат интервалу , то при и при .

4. График функции распределения показан ниже.

Плотность распределения вероятностей непрерывной СВ (погрешности) называют функцию , такую, что , т.е.

.

Вероятность того, что непрерывная СВ примет значение, принадлежащее интервалу равна

.

Плотность распределения имеет следующие свойства: , .

Плотность распределения непрерывных СВ называют законами распределения. Закон распределения называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения СВ, плотность распределения :

Погрешности от квантования и от трения распределены по равномерному закону, т.к. погрешности больше и меньше не встречаются, а внутри этого интервала ни равновероятны:

МОЖ непрерывной СВ, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют интеграл

.

Дисперсией непрерывной СВ называется МОЖ квадрата ее отклонения:

.

СКО непрерывной СВ .

Показательным (экспоненциальным) называется распределение СВ , описываемое плотностью , где .

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной СВ, которое описывается плотностью

.

В выше приведенной формуле МОЖ и дисперсия , СКО равно параметру . График плотности нормального распределения называется нормальной кривой (кривой Гаусса) (рис.5.1).

Рисунок 5.1 – Нормальное распределение плотности вероятности СВ

Вероятность попадания в интервал случайной величины, распределенной по нормальному закону

,

где - табулированная функция Лапласа.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной СВ по абсолютной величине меньше заданного числа , т.е. или . Можно показать, что

. (5.1)

Очевидно, что вероятность попадания СВ в интервал есть площадь под кривой , ограниченной вертикалями . Если рассмотреть две СВ, распределенные по нормальному закону при МОЖ , то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу , больше у той СВ, которая имеет меньшее СКО (рис.5.1).

Таким образом, вероятность того, что погрешность результата измерения находится между заданными предельными значениями и , вычисляется по формуле

. (5.2)

В табл.5.1 приведены значения вероятностей для некоторых интервалов , заданных в единицах СКО .

Таблица 5.1 – Значения вероятностей для заданных СКО при нормальном распределении

Интервал	Вероятность попадания в интервал
	0,5	0,5
	0,68	0,32
	0,95	0,05
	0,997	0,003
	0,99993	0,00007

Погрешность от зазора в кинематической цепи распределена по дискретному двузначному закону, т.к. принимает значения и : , где - Дельта-функция (рис.5.2а). Погрешность от гистерезиса, погрешность от градуировки приобретают вид кривых композиции равномерного распределения с симметричным экспоненциальным распределением (рис.5.2б). Погрешность от наводки синусоидального напряжения распределена по синусоидальному закону (рис.5.2в).

Рисунок 5.2 – Функции распределения погрешностей

Пусть проведено измерений (опытов). Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность случайно отобранных измерений (объектов). Генеральная совокупность – совокупность измерений (объектов), из которых производится выборка. Объем совокупности – число измерений (объектов) этой совокупности.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалась раз, раз и т.д. Сумма - объем выборки, наблюдаемые значения - варианты, значения - относительные частоты.

Пусть имеются данные выборки (значения исследуемой величины): , полученные в результате наблюдений. Если - независимые СВ, то для нахождения статистической оценки неизвестного параметра необходимо найти функцию от наблюдаемых СВ. Например, для оценки МОЖ нормального распределения служит функция – среднее арифметическое наблюдаемых значений признака: .

Если оценка МОЖ сходится по вероятности к значению оцениваемого параметра, то она состоятельная. Если оценка МОЖ равна оцениваемому параметру, то она несмещенная. Если оценка дисперсии меньше дисперсии любой другой оценки данного параметра, то она эффективная.

Генеральной средней называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности. Если значения признака генеральной совокупности объема различны, то . Если значения имеют частоты , соответственно, причем , то .

Выборочной средней называется среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности. Для различных значений признака выборки объема : . Если значения имеют частоты , соответственно, причем , то .

Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема : с частотами , причем . Общая средняя .

Отклонением называют разность между значением признака и общей средней:

. (5.3)

Можно показать, что . Величина случайной погрешности -го измерения определяется как отклонение результата измерения от среднего значения по формуле (5.3).

Оценка значения СКО (среднеквадратической погрешности) данного ряда измерений вычисляется по формуле:

. (5.4)

При достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка сходится по вероятности к СКО , т.е.

. (5.5)

Так как среднее арифметическое значение также является СВ, то необходимо использовать понятие СКО среднего арифметического значения . Для независимых погрешностей

. (5.6)

Значение , рассчитываемое по формуле (5.6) характеризует степень разброса и называется среднеквадратической погрешностью результата измерений.

Среднее арифметическое значение , полученной в результате некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения и не совпадает с ним на величину погрешности. Пусть - вероятность того, что отличается от не более чем на , т.е.

или .

Вероятность называется доверительной вероятностью, а интервал значений измеряемой величины от до - доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона распределения (5.1), тогда как при небольшом числе измерений , результаты которых принадлежат нормальному распределению, целесообразно использовать распределение Стьюдента [2].

Распределение Стьюдента имеет плотность вероятности, практически совпадающую с нормальной при больших , но значительно отличающуюся от нормальной при малых . В табл.5.2 приведены квантили распределения результата косвенных Стьюдента для числа измерений и доверительных вероятностей .

Таблица 5.2 – Квантили распределения Стьюдента

Число измерений	Доверительная вероятность
0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
	3,08	6,31	12,7	31,8	63,7
	1,89	2,92	4,3	6,96	9,92
	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
	1,53	2,13	2,77	3,75	4,6
	1,48	2,02	2,57	3,36	4,03
	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
	1,42	1,9	2,36	3,0	3,5
	1,4	1,86	2,31	2,9	3,35
	1,38	1,84	2,26	2,82	3,25
	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17
	1,36	1,8	2,2	2,72	3,11
	1,36	1,78	2,18	2,68	3,05
	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01
	1,34	1,76	2,14	2,62	2,98
	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
	1,33	1,73	2,09	2,54	2,87
	1,31	1,7	2,04	2,47	2,76

Для определения доверительного интервала необходимо для данных и найти квантиль и вычислить величины

и , (5.7)

которые будут являться нижней и верхней границами доверительного интервала.

Дата добавления: 2015-04-30