Решение типовых задач. При больших значениях n для вычисления средней наработки на отказ можно применить приближенную формулу

При больших значениях n для вычисления средней наработки на отказ можно применить приближенную формулу

Соответственно, вероятность безотказной работы cистемы с паралельным соединением элементов

P = 1 – Q.

При этом вероятность безотказной работы системы:

P = 1 - q_n = 1 - (1 - p)n, q = 1 – p.

т. е. надежность системы с параллельным соединением повышается при увеличении числа элементов (например, при вероятности безотказной работы элемента системы р = 0.9 и количестве паралельно включенных элементов n = 2 вероятность безотказной работы системы будет Р = 0.99, а при n = 3 вероятность безотказной работы системы станет уже Р = 0.999).

Поскольку q_i < 1, произведение Q = q₁ q₂... q_n всегда меньше любого из со множителей, т.е. вероятность отказа системы не может быть выше вероятности самого надежного ее элемента (“лучше лучшего”) и даже из сравнительно ненадежных элементов возможно построение вполне надежной системы.

При экспоненциальном распределении наработки элементов системы:

p(t) = exp(- λ · t);

Р = 1 - [ 1 - ехр(- λ · t) ]n.

Средняя наработка на отказ (между отказами) есть математическое ожидание наработки до очередного отказа. Поэтому после интегрирования и преобразований получим формулу для вычисления средней наработки системы:

T₀ = (1/λ) Σ (1/i) = T_oi Σ (1/i).

где i = 1, 2,..., n, Т_oi = 1/λ_i - средняя наработка элемента.

Т₀ = T_oi (ln n + 1/2n +0,577).

Таким образом, средняя наработка системы с параллельным соединением больше средней наработки ее элементов (например, при n = 2 cредняя наработка системы на отказ будет Т_o = 1.5 Toi, при n = З она уже увеличится и составит T₀ = 1.83 T_oi).

Задача 3.1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов равна l₁=0,16*10^-3 1/час = const. Интенсивности отказов двух устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами l₂=0,23*10^-4t 1/час, l₃=0,06*10^-6t^2,6 1/час. Рассчитать вероятность безотказной работы в течение 100 час.

Решeниe:

Для t=100 час:

.

Задача 3.2. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно: mt₁=160 час; mt₂ =320 час; mt₃ = 600 час.

Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Определить среднее время безотказной работы системы.

Решeниe:

где l_i - интенсивность отказов i -го блока.

1/час.

где l_c - интенсивность отказов системы.

час.

Задача 3.3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых lср=0,32*10^-6 1/час. Определить P_c(t), Q_c(t), f_c(t), для t=50 час, Т_cр.

Решeниe:

l_с=l_ср*n=0,32*10^-6*12600=4,032*10^-3 1/час.

Р_с(t)=e^-lct; Р_с(50)=e^{-4?032*0,001*50}»0,82.

Q_c(t)=l_ce^-lct=l_cP_c(t); Q_c(50)=1-P_c(50)»0,18.

f_c(t)=l_ce^-lct=l_cP_c(t); f_c(50)=4,032*10^-3*0,82=3,28*10^-3 1/час.

Т_ср=1/l_c=1/4,032*10^-3»250 час.

Задача 3.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: Р₁(100) = 0,95; Р₂(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Найти среднее время безотказной работы системы.

Решeниe:

Р_с(100)=Р₁(100)*Р₂(100)=0,95*0,97=0,92.

Р_с(t)=e^-lct

Р_с(100)=0,92=e^-lc*100 .

l_с*100»0,083 или l_с=0,83*10^-3 1/час.

Т_ср=1/l_c=1/(0,83*10^-3)=1200 час.

Задача 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна P(t) = 0,9997. Определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов.

Решeниe:

Вероятность безотказной работы системы Р_c(t)= P_n(t)=(0,9997)100.

Вероятность Рc(t) близка к единице:

Q(t)=1-P(t)=1-0,9997=0,0003,

тогда Р_c(t)»1-nq(t)=1-100*0,0003=0,97.

Задача 3.6. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Рc(t)=0,95. Система состоит из 120 равнонадежных элементов. Найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение: Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента:

Дата добавления: 2015-04-30