Элементы теории вероятностей

Элементы теории вероятностей (94).

Статистические совокупности, их харак­теристики. Описательная статистика

5.2. Статистика как средство познания (97). 5.2.1. Общие замечания (97). 5.2.2. Статистические признаки (98). 5.2.3. Совокупности объектов, их признаки и параметры признаков (100).

5.3. Статистические совокупности и их характеристики (103). 5.3.1. Центральные тенденции (104). 5.3.2. Вариативность статистических совокупностей (104). 5.3.3. Упорядочение и представление выборок (106).

5.4. Вариационные ряды, их табличное и графическое отображение (107). 5.4.1. Табличное и графическое отображение вариационного ряда (107).Нормальное (гауссово) распределение (109).

5.5. Описательная статистика (111).

5.6. Приложения (113).

В основе статистики лежит математическая теория вероятностей, в которой исследуются закономерности появления случайных событий (случайное есть одна из форм проявления закономерного). Это развитая отрасль математики, крупный ее раздел. В этом параграфе речь, естественно, пойдет лишь о некоторых элементарных понятиях теории вероятностей. Можно полагать, следует начать с самого понятия «вероятность».

«Вероятность — численная характеристика степени возможности появления какого-либо конкретного случайного события при тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях» (Сов. энцикл.слов. 1983). Вероятность можно определить и несколько по-другому: это имеющее место или ожидаемое отношение количества появлений некоторого события к общему очень большому (если строже — к бесконечно большому) количеству рассматриваемых в этом ряду событий.

Случайное событие — это такой результат некоторой операции, который складывается под действием ряда не контролируемых нами факторов и который поэтому принципиально не может быть нами предопределен — он появляется альтернативно другим (другому) результатам. Вероятность — количественная характеристика. Ее значение лежит в пределах 0¸1 и может быть выражено в долях единицы (менее строго — в %%, и в этом случае в пределах 0¸100%). Например, из 100 попыток в прыжках в длину с разбега спортсмен сделал 16 заступов (заступ — случайное событие, он может случиться или не случиться) — следовательно, у нас есть основание полагать, что, поскольку частота заступа при 100 попытках оказалась равна16, а частость (частота поделенная на общее число испытаний, в данном случае на общее число попыток) равна 16 ½ 100 = 0,16, вероятность заступа можно считать примерно равной частости, т.е. 0,16, или 16%, а вероятность засчитываемого прыжка можно считать близкой к (100 – 16) ½ 100 = 0,84 (либо, что то же самое, 84%). Экспериментально установлено: с увеличением количества повторений испытаний проявляется тенденция к стабилизации частости рассматриваемого нами варианта события (в данном примере — заступа), при этом частость все точнее количественно определяет вероятность именно этого варианта события. Т.е. чем больше число повторяющихся однородных операций (испытаний), тем более точную оценку вероятности некоторого конкретного исхода мы можем надеяться получить (хотя полной уверенности в том, что такая зависимость реализуется, у нас принципиально быть не может: таковы особенности случайных событий).

В теории вероятностей существует понятие «единичная операция» — например, один бросок монеты, если мы интересуемся тем, какой своей стороной она ляжет кверху, т.е. выпадет «герб» («орел») или «решетка» (число, определяющее стоимость монеты). Результатом единичной операции является «исход» — например, выпал «герб». Если нас интересует, сколько раз при множестве таких бросков монеты (т.е. при «однородной массовой операции») выпадет именно «герб», каждое выпадение «герба» называют удачным исходом. Если мы хотим выяснить, сколько раз при броске кубика с числами от 1 до 6 на гранях он ляжет так, что на верхней грани окажется число 4 («выпадет» число 4) — удачными единичными исходами мы будем называть каждое выпадение числа 4 как единичного исхода; при следующем броске выпало число 2 — это другой, но уже неудачный, единичный исход и т.д.

Событие, которое в принципе произойти не может (например, если биатлонисту винтовку зарядили холостыми патронами, он не может поразить мишень; если на игральной кости на гранях числа от 1 до 6, число 7 выпасть не может), называют невозможным. Событие, которое обязательно произойдет (например, в конце прыжка в длину произойдет приземление), называют достоверным. Нередко чрезвычайно маловероятные события (например, что в результате броска монеты не выпадет ни «герб», ни «решетка» — для этого она должна упасть и остаться стоять на ребре) условно считают невозможными, а те, которые произойдут с чрезвычайно большой вероятностью (например, что выпадут либо «орел», либо «решетка») — достоверными. Так упрощают для себя решение многих задач. Что касается вероятности таких событий, то для достоверного события она равна 0, для невозможного события — 1.

Если события при единичном испытании не могут произойти вместе, их называют несовместимыми (или несовместными). Например, при одном броске игральной кости не могут выпасть и загаданное число, и какое-нибудь из других.

Если одно из двух событий обязательно должно произойти (при одном броске монеты выпадут либо «герб» — либо «решет­ка»; студент на экзамене выбрал либо тот единственный билет, ответы на вопросы которого ему известны — либо какой-нибудь другой билет), но они не могут произойти одновременно, такие события называют противоположными. Суммарная вероятность противоположных событий — вероятность того, что то или другое произойдет — равна 1, а вероятность каждого — 1 минус вероятность противоположного. Поэтому в случаях, когда вероятность одного из противоположных событий определить намного проще, чем вероятность другого, то вычитанием вероятности первого события из 1 легко определить и вероятность второго.

Произведение вероятностей. Возьмем такой пример: двое мальчишек (назовем их А и Б) после празднования Нового года собрали у себя дома и у соседей поврежденные стеклянные елочные шарики, набрали 100 штук, поставили их в ряд около стены и решили поупражняться в стрельбе из рогаток. Из предыдущего их опыта известно, что вероятность попадания у мальчика А равна 0,7, а у мальчика Б — 0,5. Они взяли по 100 камешков, стреляли (по команде третьего мальчика) одновременно в один и тот же шарик: сначала в крайний левый шарик, затем во второй и т.д. Спрашивается, сколько шариков разбиты ими обоими и во сколько шариков они оба промахнулись? Иными словами, нужно узнать вероятности 2 разных исходов: 1) какова вероятность того, что любой конкретный шарик будет разбит обоими мальчиками, 2) какова вероятность того, что он не будет разбит: оба мальчика промахнутся.

Давайте рассуждать.

В первом случае мальчик А попал в 70 шариков, но в половину из них (а это 70 ½ 2 = 35) попал и другой, так что оба попали в 35 шариков. Откуда вероятность (Р¢_АБ) совместного попадания в шарик равна 35 ½ 100 = 0,35 = 0,7´0,5 = Р¢_А ´ Р¢_Б, где Р¢_А — вероятность попадания в шарик мальчика А, а Р¢_Б — вероятность попадания в шарик мальчика Б. Во втором случае мальчик А промахнулся в 30 шариков (вероятность P¢¢_А = 0,3), в половину из них (вероятность P¢¢_Б = 0,5) не попал и мальчик Б. Нетронуты 30 ½ 2 = 15 шариков (вероятность P¢¢_АБ = 0,15): в этом случае вероятность P¢¢_АБ = P¢¢_А ´ P¢¢_Б — т.е. произведению вероятностей.

Другой пример произведения вероятностей: при одновременном броске 2 игральных костей (кубиков) вероятность выпадения на обеих одного и того же загаданного числа (например, числа 3) равна 1 ½ 6 ´ 1 ½ 6 = 1 ½ 36. Тот же результат будет при подсчете вероятности выпадения одного и того же загаданного числа при 2 последовательных бросках игральной кости (при 3-х бросках — соответственно 1 ½ 6 ´ 1 ½ 6 ´ 1 ½ 6 = 1 ½ 216).

Суммирование (сложение) вероятностей. Например, нужно определить, какова вероятность при броске игральной кости выпадения чисел 2 или 4. Если кость «правильная», то есть если это правильный сплошной однородный куб и его центр тяжести расположен точно в его центре, вероятность выпадения любого из 6 чисел одинакова и равна 1 ½ 6 — т.е. из 30 бросков можно в среднем ожидать по 5 выпадений чисел 2 и 4, а значит 10 раз выпадет одно из этих чисел —либо число 2, либо число 4. Но 10 ½ 30 = 1 ½ 3 не что иное как (1 ½ 6 + 1 ½ 6) — сумма вероятностей. Заметим, что события (исходы) выпадения чисел 2 и 4 несовместимы (несовместны), то есть одновременно они произойти не могут. Так что в случае, если мы загадали выпадение одного (любого) из 3 чисел (например 1, 3, 6), суммарная вероятность Р = Р₁ + Р₃ + Р₆ = 1 ½ 6 + 1 ½ 6 + 1 ½ 6 = 1 ½ 2.

Но это справедливо только для несовместимых (несовместных) событий. Если же события могут совпадать (например, бросают одновременно 2 игральных кости), то вероятность выпадения в один бросок чисел либо 2, либо 4 несколько иная: иногда выпадут 2 четверки, иногда 2 двойки, вероятность каждого из таких событий 1 ½ 36 (произведение вероятностей), а вероятность обоих (сумма таких произведений) — 1 ½ 18. Поэтому вероятность (Р) события — выпадения либо 2, либо 4 — равна 1 ½ 2 – 1 ½ 18 = 9 ½ 18 – 1 ½ 18 = 8 ½ 18» 0,45. Иначе говоря, Р = Р_А+Б – Р_А´А – Р_Б´Б, где Р_А+Б — сумма вероятностей несовместных событий, Р_А+Б — сумма несовместных вероятностей, Р_А´А и Р_Б´Б — соответственно произведения вероятностей одновременного выпадения числа 2 и числа 4.

Другой пример: при одновременном броске 2 игральных костей вероятность выпадения числа 4 равна 1 ½ 6 + 1 ½ 6 – 1 ½ 36, то есть Р = Р_А+Б – Р_А´Б, где Р_А+Б — сумма вероятностей несовместных событий, а Р_А´Б — произведению вероятностей событий А и Б.

Дата добавления: 2015-04-30