Статистические совокупности и их характеристики

Как уже было сказано выше, сплошное обследование генеральной совокупности объектов, т.е. определение значения некоторого признака у каждого объекта, дает по каждому из таких признаков генеральную совокупность, выборочное обследование — выборку. Выборка должна хорошо отображать (представлять) генеральную совокупность, быть репрезентативной ей, репрезентировать ее, хорошо отображать ее структуру и место на числовой оси. Это определяется степенью близости: 1) средних арифметических выборки и генеральной совокупности () — выборочного и генерального средних, 2) вариативности (колеблемости, разброса, рассеяния) чисел, составляющих выборочную и генеральную совокупности (каждое число, входящее в статистическую совокупность, напомним, называется вариантой, 3) характеров распределения выборочной и генеральной совокупностей.

5.3.1.Центральные тенденции. Центральными тенденциями называют характеристики, представляющие собой так или иначе вычисляемое усредненное количественное вариант статистической совокупности. Наиболее часто применяется среднее арифметическое.

Среднее арифметическое выборки (выборочное среднее) обозначают чаще всего («икс с чертой»), среднее арифметическое генеральной совокупности (генеральное среднее) — . Среднее арифметическое совокупности — усредненное значение ее вариант, характеристика ее места на числовой оси. Выборочное среднее определяют по формуле = S х_i ê n, где S х_i — сумма всех вариант совокупности, n — их количество в выборке (ее объем). Генеральное среднее = S x_i ê N,где N — количество вариант в генеральной совокупности (ее объем).

Большое значение имеют еще 2 особенности средней арифметической: 1) всегда S( – ) = 0; выражение называют отклонением; 2) сумма квадратов отклонений S( – )² всегда меньше любой S(х_i –х)², где х — любое число, кроме .

Помимо среднего арифметического, к центральным тенденциям относят моду (Мо) и медиану (Ме). Мода — значение варианты, которое в совокупности содержится в большем количестве, чем любое другое. В совокупности 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10 11 12 мода Мо = 8. Медиана — значение, меньше и больше которого одинаковое число вариант. В той же совокупности медиана Ме = 8,5.

Моду и медиану используют в некоторых упрощенных процедурах аналогично средней арифметической, а также, используя то обстоятельство, что в теоретическом так называемом нормальном распределении мода и медиана совпадают со средним арифметическим, эти характеристики в критериях согласия используют для оценки степени близости рассматриваемого распределения к нормальному (т.е. в том случае, если нужно определить, имеем ли мы право рассматривать данное распределение в качестве нормального и применять параметрические критерии). Но об этом см. в гл.6.

5.3.2. Вариативность статистических совокупностей. Вариативность (колеблемость) статистической совокупности (разброс вариант, рассеяние вариант) — степень различия между составляющими ее вариантами. Рассмотрим 5 характеристик вариативности.

1. Размах R = х _max – x _min, т.е. диапазон значений, в пределах которого содержатся все варианты рассматриваемой совокупности. Эту характеристику вычислить очень легко, однако ее применяют только в упрощенных статистических процедурах, при грубом, чаще предварительном оценивании вариативности.

2. Дисперсия s ² = S( – )² ê (n –1), где x _i — все по очереди варианты совокупности. При n > 30 в знаменателе вместо n –1 можно ставить n. Нельзя класть в основу определения вариативности сумму отклонений (x_i – ): всегда S(x_i – ) = 0, зато S(x_i – )² всегда >0. Дисперсия s ² = S( – )² ê (n –1) — важная характеристика статистической совокупности, входящая во многие статистические процедуры.

3. Среднее квадратическое (квадратичное) отклонение — s

s = ½ (s²)^1/2 ½ = ½ ½. Это всегда положительная вели-

чина, производимая из дисперсии; при n > 30 знаменатель подкоренного выражения не (n –1), а просто n. Среднее квадратическое отклонение (среднее квадратическое) тоже входит во многие операции. Обычно, приводя в итогах исследования значение полученного среднего арифметического, добавляют ±s, тем самым показывая уровень вариативности рассматриваемой совокупности и диапазон наиболее вероятных (вероятность 68%) реальных значений в других выборках той же генеральной совокупности. Среднее квадратическое выражается в тех же единицах измерения, что и .

4. Коэффициент вариации V = (s ½ )´100% (или V = s ½ )показывает относительную величину (величину относительно средней арифметической) вариативности статистической совокупности. Для чего это нужно? Дело в том, что сравнивать и оценивать вариативности различных совокупностей по абсолютной величине s в большинстве случаев нельзя, поскольку: 1) различны единицы измерения (нельзя по абсолютной величине s сравнивать вариативность совокупностей результатов в поднимании штанги (в кг), в прыжках в высоту (в см) и в беге на 100 м (в сек); 2) нельзя по абсолютной величине s сравнивать и оценивать вариативности совокупностей со значительно различающимися средними арифметическими: например — совокупности результатов в плавании на 100 м и совокупности результатов в плавании на 1500 м. А поделив среднее квадратическое на среднее арифметическое, получим сопоставимые величины в долях единицы или, умножив на 100%, — в процентах, т.е. коэффициент вариации V. Принято считать при 0 < V < 10% вариативность статистической совокупности малой, при 10% < V < 20% — средней, при 20% < V < 30% — большой, а при V > 30% — очень большой. Конечно, эта шкала условна и может быть изменена.

Стандартная ошибка средней арифметической выборки (другие названия: стандартная ошибка выборочной средней, стандартная ошибка средней, стандартная ошибка, стандарт, а также — ошибка репрезентативности). Это очень важная характеристика. Количественно (s = s ½ ) она отражает вариативность средних арифметических различных выборок, сформированных из одной генеральной совокупности, относительно средней арифметической этой совокупности. Поэтому она фигурирует в ряде статистических процедур.

Все перечисленные в настоящем параграфе характеристики широко применяются в статистических процедурах.

5.3.3. Упорядочение и представление выборок. Чтобы легче было проводить статистические операции над выборками, их следует упорядочить, произвести их сводку и группировку. Прежде всего, нужно объединить и систематизировать данные: расположить варианты по возрастанию или убыванию их значений, что нередко уже само по себе значительно упрощает расчеты. Дальнейшее упорядочение выборки может заключаться в группировании вариант, имеющих одинаковое или относительно близкое значение. Однако, если анализируют взаимосвязь 2 выборок с сопряженными парами (смотри дальше), такое упорядочение допустимо лишь в одной из них: «разлучать» сопряженные пары нельзя, и потому во второй выборке варианты нужно располагать в соответствии с расположением сопряженных с ними вариант в упорядоченной выборке.

Если статистическая совокупность (выборочная, генеральная) достаточно велика, значения вариант повторяются. Мерой повторности («встречаемости») конкретных значений является их частота (f ). Совокупную картину соответствия частот числовым значениям вариант совокупности называют распределением частот. Тот или иной характер распределения частот — одна из важнейших характеристик выборки.

Конкретные статистические совокупности часто называют распределениями, подразумевая «совокупность с некоторым распределением частот».

Дата добавления: 2015-04-30