Немного о дисперсионном анализе 2 страница

Использование критерия ван дер Вардена довольно трудоемко, и потому к нему обычно обращаются в случае неуверенности в результатах использования других (менее мощных) непараметрических критериев: если расчетное значение критерия недостаточно отличается от табличного (граничного, критического). В тех же случаях, когда при использовании более простых критериев отличие это значительно, результатам вполне можно доверять.

Таблица 6.6

Граничные значения Х-критерия ван дер Вардена

ns	n1–n2 = 0или1	n1–n2 = 2или3	n1–n2 = 4или5	ns	n1–n2 = 0или1	n1–n2 = 2или3	n1–n2 = 4или 5
	0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01		0,05	0,01	0,05	0,01	0,05	0,01
	2,40	—	2,30	—	—	—		4,88	6,35	4,87	6,34	4,84	6,30
	2,38	—	2,20	—	—	—		4,97	6,47	4,95	6,44	4,91	6,39
	2,60	3,20	2,49	3,10	2,30	—		5,07	6,60	5,06	6,58	5,03	6,55
	2,72	3,40	2,58	3,40	2,40	—		5,15	6,71	5,13	6,69	5,10	6,64
	2,86	3,60	2,79	3,58	2,68	3,40		5,25	6,84	5,24	6,82	5,21	6,79
	2,96	3,71	2,91	3,64	2,78	3,50		5,33	6,95	5,31	6,92	5,28	6,88
	3,11	3,94	3,06	3,88	3,00	3,76		5,42	7,06	5.41	7,05	5,38	7,02
	3,24	4,07	3,19	4,05	3,06	3,88		5,50	7,17	5,48	7,15	5,45	7,11
	3,39	4,26	3,36	4,25	3,28	4,12		5,59	7,28	5,58	7,27	5,55	7,25
	3,49	4,44	3,44	4,37	3,36	4,23		5,67	7,39	5,65	7,37	5,62	7,33
	3,63	4,60	3,60	4,58	3,53	4,50		5,75	7,50	5,74	7,49	5,72	7,47
	3,73	4,77	3,69	4,71	3,61	4,62		5,83	7,62	5,81	7,60	5,79	7,56
	3,86	4,94	3,84	4,92	3,78	4,85		5,91	7,72	5,90	7,71	5,88	7,69
	3,96	5,10	3,92	5,05	3,85	4,96		5,99	7,82	5,97	7,81	5,95	7,77
	4,08	5,26	4,06	5,24	4,01	5,17		6,04	7,93	6,06	7,92	6,04	7,90
	4,18	5,40	4,15	5,36	4,08	5,27		6,14	8,02	6,12	8,01	6,10	7,98
	4,29	5,55	4,27	5,53	4,23	5,48		6,21	8,13	6,21	8,12	6,19	8,10
	4,39	5,68	4,36	5,65	4,30	5,58		6,29	8,22	6,27	8,21	6,25	8,18
	4,50	5,83	4,48	5,81	4,44	5,76		6,36	8,32	6,35	8,31	6,34	8,29
	4,59	5,95	4,56	5,92	4,51	5,85		6,43	8,41	6,42	8,40	6,39	8,37
	4,68	6,09	4,68	6,07	4,64	6,03		6,50	8,51	6,51	8,50	6,48	8,48
	4,78	6,22	4,76	6,19	4,72	6,13

6.2.5. Параметрический критерий значимости. Для определения значимости различия выборок, но только состоящих из данных, полученных в шкале интервалов или шкале отношений (то есть в физических величинах) и обязательно при близком к нормальному их распределению, служит параметрический критерий Стьюдента (t-критерий). Проверим по этому критерию 0-гипотезу применительно к тем же выборкам. Расчетная формула t_p =ï ï ïs_d, где — среднее

арифметическое разностей в сопряженных парах (х_i – y_i), s_d = sï —

ошибка репрезентативности (стандартная ошибка средней) выборки,

состоящей из этих разностей. В случае, если расчетное значение критерия t_p < t_an, считают, что 0-гипотеза подтверждается (различие выборок незначимо), если же, наоборот, t_p ³ t_an, то 0-гипотеза отвергается: считают, что выборки различаются значимо). Здесь a — уровень значимости, n = n – 1 — число степеней свободы. Рассчитаем и s_d, для чего подготовим расчетную таблицу (табл. 6.6).

Таблица 6.6.

№	xi	yi	di	ï ï
				1,8	3,24
…	…	…	…	…	…
				4,8	23,04
	å di =; =		å =

= Sd_i ï n= (4+5+2–1+2+4+6–2–1+0–2+3+2+4+7) ï 15 = 2,2;

s_d² = [(4–2,2) ² + (5–2,2) ² + (2–2,2) ² + (–1–2,2) ² + (2–2,2)² + (4–2,2)²+ (6–2,2)²+

+ (–2–2,2) ² + (–1–2,2) ² + (0–2,2)² + (–2–2,2) ² + (3–2,2) ² + (2–2,2)² + (4–2,2) ² +

+(7–2,2)²] ï (n–1) = (3,24+7,84+0,04+10,24+0,04+3,24+14,44+17,64+

+10,24+4,84+17,64+0,64+0,04+3,24+23,04) ï 14 @ 8,31;

s_d = ï ï@2,9; s_d = s ï @ 2,9 ï 3,86 @ 0,75;

t_p = ï ï ï s_d @ 2,2 ï 0,75 @ 2,9.

Для числа степеней свободы n = n – 1 = 14 и a = 0,05 табличное значение t-критерия t_an = 2,15. Так как t_p.> t_an, мы делаем вывод, что различие выборок значимо. Приведем таблицу критических (граничных) значений t-критерия (табл.6.7).

Все 3 приведенных примера показывают, что при сравнении попарно связанных выборок информативным является изменение (приращение) в сопряженных парах: из двух сравниваемых выборок формируют одну, состоящую из вычисленных приращений (то есть из разностей в сопряженных парах), и анализируют уже ее.

Таблица 6.7

Критические (граничные) значения t-критерия Стьюдента

n	Уровни значимости a		n	Уровни значимости a
0,1	0,05	0,01	0,001		0,1	0,05	0,01	0,001
	6,31	12,71	63,66	636,6			1,74	2,11	2,90	3,97
	2,92	4,31	9,93	31,60			1,73	2,00	2,88	3,92
	2,35	3,18	5,84	12,29			1,73	2,09	2,85	3,85
	2,13	2,78	4,60	8,61			1,72	2,08	2,82	3,79
	2,02	2,57	4,03	6,87			1,71	2,06	2,80	3,75
	1,94	2,45	3,71	5,96			1,71	2,06	2,78	3,71
	1,90	2,37	3,50	5,41			1,70	2,05	2,76	3,67
	1,86	2,26	3,36	5,04			1,70	2,04	2,75	3,65
	1,83	2,23	3,25	4,78			1,68	2,02	2,70	3,55
	1,81	2,20	3,17	4,59			1,68	2,01	2,68	3,51
	1,80	2,18	3,10	4,44			1,66	2,00	2,66	3,51
	1,78	2,18	3,06	4,32			1,66	1,99	2,64	3,42
	1,77	2,16	3,01	4,22			1,66	1,98	2,63	3,39
	1,76	2,15	2,98	4,14			1,65	1,97	2,60	3,34
	1,75	2,13	2,95	4,07			1,65	1,97	2,59	3,31
	1,75	2,12	2,92	4,02		~	1,65	1,96	2,58	3,29

Важно, что это не просто математический прием. В таких случаях в практике интересны именно приращения признака (положительные, нулевые, отрицательные) в сопряженных парах (изменение у каждого испытуемого). Так, при проведении обучающего эксперимента интересен ведь именно прирост целевого результата, полученный благодаря обучению, тренировке. При исследовании возрастных изменений признаков тоже интересны именно их приращения как следствие возрастного развития. Заметим: операции с одной выборкой менее трудоемки, чем с двумя.

Следует подчеркнуть еще одну особенность сравнения попарно связанных (связанных, сопряженных) выборок: изменяя порядок расположения вариант, необходимо сохранять сопряженность пар, «разлучать» их нельзя. Значит, упорядочивать (скажем, располагать по возрастанию) можно только одну из выборок, порядок вариант в другой при этом предопределен: каждая варианта должна иметь тот же порядковый номер, что и его пара в упорядоченной выборке. Естественно, объемы обеих выборок одинаковы (n_x = n_y).

Если измеряли в шкале интервалов или отношений и распределение близко к нормальному, к несвязанным выборкам, сравнивавшимся в предыдущем подразделе с применением критерия Вилкоксона, можно применить более мощный t-критерий Стьюдента для несвязанных выборок. При этом расчеты более трудоемки, расчетная

расчетная формула t_р = ï ï ½ . Проведем этот расчет

ведем этот расчет и сравним результат с полученным выше.

X: 13,3 13,5 13,7 13,9 14,0 14,0 14,2 14,3 14,9 15,2

Y: 13,8 14,0 14,0 14,1 14,3 14,4 14,8 14,7 14,9 14,9 15,2 15,3;

= S x _i ï n_x = (13,3+13,5+13,7+13,9+14,0+14,0+14,2+14,3+14,9+15,2) ï 10 = 14,1;

= y_i ï n_y = (13,8 + 14,0 + 14,0 +14,1 + 14,3 + 14,4 + 14,4 + 14,7 + 14,9 +

+ 14,9 + 15,2 ++ 15,3) ½ 12 = 14,5; ï ï= 0,4;

s _x² = S ï (n–1) = [(13,3–14,1) ² + (13,5–14,1) ² + (13,7–4,1) ² + (13,9–14,1) ²+ +2 (14,0–14,1) ² + (14,2–14,1) ² + (14,3–14,1) ² +(14,9–14,1) ² + (15,2–14,1) ² ] ï (10 –1) = = (0,64 + 0,36 + 0,16 + 0,04 + 0,02 + 0,01 + 0,04 + 0,64 + 1,21) ï 9 @ 0,35;

s_x² = s_x² ï n_x @ 0,035;

s_y ² = ï (n_y –1) = [(13,8–14,5)²+2(14,0–14,5)²+(14,1–14,5)²+

+(14,3–14,5)²+2(14,4–14,5)²+ (14,7–14,5)² +2(14,9–14,5)² + (15,2–14,5)² + +(15,3–14,5)²] ï (12–1)= (0,49 + 0,5+0,16+0,04+0,02+0,04+0,32 + 0,49+0,64) ï 11=

= 2,7 ï 11 @ 0,245; s _y² = s_y² ï n_y @ 0,245 ï 12 @ 0,02;

= (0,035 + 0,02) ^0,5 @ 0,75; t_p = ï ï ½ @

@ 0,4: 0,75 @ 0,5.

Для удобства вычисления и чтобы сделать менее вероятными ошибки целесообразно построить расчетную таблицу (табл. 6.8):

Таблица 6.8

№ п/п	xi	yi	ïxi – ï	(xi – )^2	ïyi – ï	(yi – )^2
	13,3	13,8	0,8	0,64	0,7	0,49
	13,5	14,0	0,6	0,36	0,5	0,25
…	…	…	…	…	…	…
	15,2	14,9	1,1	1,21	0,4	0,16
		15,2			0,7	0,49
		15,4			0,9	0,81
	å хi= =	å yi = =		å(xi – )^2=		å(yi – )^2=

6.2.6. Критерии согласия. Рассмотрим несколько таких критериев применительно к задаче определения того, вправе ли мы конкретную выборку считать имеющей нормальное распределение.

Таблица 6.9

Граничные значения коэффициента асимметрии Аs_a

a n	0,05	0,01	a n	0,05	0,01	a n	0,05	0,01
	0,661	0,982		0,432	0,631		0,200	0,285
	0,621	0,921		0,409	0,596		0,179	0,255
	0,587	0,869		0,389	0,567		0,163	0,233
	0,533	0,787		0,321	0,464		0,151	0,215
	0,492	0,723		0,280	0,403		0,142	0,202
	0,459	0,673		0,230	0,329		0.127	0,180

Характер асимметрии эмпирического распределения (а значит отличие его в этом от теоретического нормального, которое симметрично) можно определить по разности ( – Мо): если она положительна — значит асимметрия левосторонняя, если отрицательна — правосторонняя. Критериальную проверку по асимметрии (As) на близость распределения в нашей выборке к нормальному для n ³ 30 можно провести по формуле Аs = [S(x_i – ) ½n ]: [S(x_i – )² ½n ]^3/2 , полученный результат сравнивают с соответствующими по n и a табличными значениями (табл.6.9). Если As_p ³ As_a, то распределение существенно отличается от нормального, если меньше — можно считать распределение нормальным.

Отличие конкретного распределения от нормального по эксцессу (островершинность, плосковершинность) проверяют по формуле Е _х = [S(х_i – )⁴ ½ s⁴] –3. Если расчетное значение положительно — налицо островершинность, отрицательно — плосковершинность. Оценки эксцесса и асимметрии применяют обязательно в комплексе.

W-критерий Шапиро-Уилки. Для малых выборок (n > 10) можно применять W-критерий Шапиро–Уилки. Рассмотрим следующий пример (приводится по Н.А. Масальгину), этапы решения которого отображены в табл.6.10 содержанием столбцов и вычислений. 2-й столбец — варианты выборки, расположенные по возрастанию, 1-й столбец — их порядковые номера (i). 3-й — первая половина этих порядковых номеров (если n нечетное число, то медиана Ме не берется в расчет). В 4-м про ставлены разности между наибольшей и наименьшей вариантой (последней и первой), между предпоследней и второй, между третьей с конца и третьей с начала и т.д. – это D _k. В 5-й столбец внесены а _nk — коэффициенты по табл. 6.11, определяемые по n b и по номерам разности k. 6-й столбец — построчные произведение a _nk и D_k (из 4-го и 5-го столбцов).

Таблица 6.10

Процедура вычислений W-критерия Шапиро-Уилки

i	xi	k	xn–k+1 – xk = D k	аnk	ank ´Dk
	0,8		2,1–0,8=1,3	0,5739	0,74607
	0,8		2,0–0,8=1,2	0,3291	0,39492
	0,9		2,0–0,9=1,1	0,2141	0,23551
	1,0		1,9–1,0=0,9	0,1224	0,11016
	1,2		1,5–1,2=0,3	0,0399	0,01197
	1,5	SS = 2,636 b = S a nk´Dk = 1,49863
	1,9
	2,0	W = b^2 ½ SS = 1,49863^2 ½ 2,636 =0,852
	2,0
	2,1	При a= 0,05 W10 = 0,842, т. е. W > W0,05

Таблица 6.11

Вспомогательные коэффициенты a_k

n k
	0,7071	0,6872	0,6646	0,6431	0,6233	0,6052	0,5888	0,5739
		0,1677	0,2413	0,2806	0,3031	0,3164	0,3244	0,3291
				0,0875	0,1401	0,1743	0,1976	0,2141
						0,0561	0,0947	0,1224
								0,0399

n k
	0,5601	0,5475	0,5359	0,5251	0,5150	0,5056	0,4958	0,4886
	0,3315	0,3325	0,3325	0,3318	0,3306	0,3290	0,3273	0,3253
	0,2260	0,2347	0,2412	0,2460	0,2495	0,2521	0,2540	0,2553
	0,1429	0,1585	0,1707	0,1802	0,1878	0,1939	0,1988	0,2027
	0,0695	0,0922	0,1099	0,1240	0,1353	0,1447	0,1524	0,1587
		0,0303	0,0539	0,0727	0,0880	0,1005	0,1109	0,1197
				0,0240	0,0433	0,0593	0,0725	0,0837
						0,0196	0,0359	0,0496
								0,0163

n k
	0,4808	0,4734	0,4643	0,4590	0,4542	0,4493	0,4450	0,4407
	0,3232	0,3211	0,3185	0,3156	0,3126	0,3098	0,3069	0,3043
	0,2561	0,2565	0,2578	0,2571	0,2563	0,2554	0,2543	0,2533
	0,2059	0,2085	0,2119	0,2131	0,2139	0,2145	0,2148	0,2151
	0,1641	0,1686	0,1736	0,1764	0,1787	0,1807	0,1822	0,1836
	0,1271	0,1334	0,1399	0,1443	0,1480	0,1512	0,1529	0,1563
	0,0932	0.1013	0,1092	0,1150	0,1201	0,1245	0,1283	0,1316
	0,0612	0,0711	0,0804	0,0878	0,0941	0,0997	0,1046	0,1089
	0,0303	0,0422	0,0530	0,0618	0,0696	0,0764	0,0823	0,0876
		0,0140	0,0263	0,0368	0,0459	0,0539	0,0610	0,0672
				0,0122	0,0228	0,0321	0,0403	0,0476
						0,0107	0,0200	0,0284
								0,0094
n k
	0,4366	0,4328	0,4291	0,4254	0,4220	0,4188	0,4156	0,4127
	0,3018	0,2992	0,2968	0,2944	0,2921	0,2898	0,2876	0,2854
	0,2522	0,2510	0,2499	0,2487	0,2475	0,2463	0,2451	0,2439
	0,2152	0,2151	0,2150	0,2148	0,2145	0,2141	0,2137	0,2132
	0,1848	0,1857	0,1864	0,1870	0,1874	0,1878	0,1880	0,1882
	0,1584	0,1601	0,1616	0,1630	0,1641	0,1651	0,01660	0,1667
	0,1346	0,1372	0,1395	0,1415	0,1433	0,1449	0,1463	0,1475
	0,1128	0,1162	0,1192	0,1219	0,1243	0,1265	0,1284	0,1301
	0,0923	0,0965	0,1002	0,1036	0,1066	0,1093	0,1118	0,1140
	0,0728	0,0778	0,0822	0,0862	0,0899	0,0931	0,0961	0,0988
	0,0540	0,0598	0,0650	0,0697	0,0739	0,0777	0,0812	0,0844
	0,0358	0,0424	0,0483	0,0537	0,0585	0,0629	0,0669	0,0706
	0,0178	0,0253	0,0320	0,0381	0,0435	0,0485	0,0530	0,0572
		0,0084	0,0159	0,0227	0,0289	0,0344	0,0395	0,0441
				0,0076	0,0144	0,0206	0,0262	0,0314
						0,0068	0,0131	0,0187
								0,0062

Дата добавления: 2015-04-30