Методические указания к задаче № 2

Теоретический материал для решения этой задачи изложен в литературе [1, с. 97 -103, 110-113; 2, с. 29-35].

В данной задаче рассматриваются вопросы обработки резуль­татов измерений [6].

Вследствие несовершенства методов и средств измерений, субъективных особенностей экспериментаторов, а также влияния внешних факторов результат измерения всегда отличается от ис­тинного значения измеряемой величины, т.е. содержит погрешность.

Если систематические погрешности могут быть значительно уменьшены или даже исключены из результатов измерения (как это имеет место в данной задаче), то случайные погрешности, вызванные большим числом случайных причин, всегда присутству­ют в результатах измерения.

Случайные погрешности проявляются при многократных и равноточных измерениях, выполненных одним и тем же средством из­мерения, по одной и той же методике и при неизменных внешних условиях.

Для оценки результатов измерений, содержащих случайные погрешности, пользуются понятиями и методами теории вероятнос­тей и математической статистики.

Задача оценки случайных погрешностей результата измере­ния состоит в установлении границ изменения погрешности. Наи­более полной характеристикой случайной погрешности, как и лю­бой случайной величины, является закон распределения их веро­ятностей.

В большинстве физических измерений случайные погрешности подчинены нормальному закону распределения, который основан на предположении следующих закономерностей:

погрешности многократных измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

вероятность (частота) появления погрешностей, равных по значению, но противоположных по знаку, одинакова;

малые по абсолютной величине погрешности более вероятны, чем большие;

вероятность появления случайных погрешностей, превосходящих по абсолютному значению некоторое определенное число очень мала (практически равна нулю);

среднее арифметическое погрешностей ряда равноточных из­мерений при неограниченном возрастании их числа стремится к нулю.

На практике часто приходится иметь дело со статистичес­ким материалом весьма ограниченного объема (менее 20 значений). Этого материала явно недостаточно для того, чтобы судить о законе распределения случайной величины.

Тем не менее, во многих случаях можно принять нормаль­ный закон распределения погрешностей, как это сделано в ус­ловии данной задачи.

Исходя из этого, по результатам статистических данных могут быть вычислены числовые характеристики случайной ве­личины. Эти характеристики подразделяются на точечные и интервальные.

Точечные оценки представляются одним числом, основными числовыми характеристиками которого являются среднее ариф­метическое и среднее квадратическое отклонения.

При ограниченном числе измерений в качестве точечной оценки истинного значения измеряемой величины А понимается среднее арифметическое результатов наблюдений , т.е.

,

где n - число наблюдений.

Рассеивание результатов наблюдений характеризуется сред-неквадратическим отклонением , несмещенная оценка которого по результатам ограниченного числа наблюдений опреде­ляется по выражению

.

При интервальной оценке среднего квадратического откло­нения ищется интервал, в который с доверительной вероятностью a - попадает истинное значение s:

,

где e_s - погрешность, .

Здесь g - относительная погрешность определяемая по таблице 4 в соответствии со схемой

g n	g
n	a

где a - заданная доверительная вероятность;

n - число наблюдений.

Таблица 4

	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	0,264	0,501	0,681	0,791	0,849	0,886	0,913	0,933	0,948	0,959
	0,286	0,536	0,717	0,821	0,874	0,908	0,932	0,950	0,936	0,972
	0,305	0,567	0,748	0,845	0,895	0,926	0,948	0,963	0,974	0,981
	0,323	0,595	0,784	0,865	0,911	0,940	0,960	0,972	0,981	0,987
	0,340	0,620	0,797	0,882	0,925	0,951	0,968	0,979	0,986	0,991
	0,358	0,645	0,810	0,899	0,939	0,962	0,976	0,986	0,991	0,995

Примечание. Для отсутствующих в таблице значений - следует применять линейную интерполяцию.

Последовательность выполнения задачи № 2:

1. Вычисление точечных оценок среднего значения и среднего квадратического отклонения. Для их расчета следует составить алгоритм и программу для программируемого микрокалькулятора либо для другой доступной для студента ЭВМ.

2. Используя квантили Стьюдента, вычислить интервальные оценки среднего отклонения и среднего квадратического отклонения заданного физического параметра.

3. На основании полученных результатов расчета сделать вы­вод.

По этим выражениям и заданным в таблице 2 результатам наблюдений могут быть определены точечные оценки и для соответствующего варианта задания.

Для определения этих оценок следует составить алгоритм и программу расчета для программируемого микрокалькулятора, используя полученный опыт по дисциплине «Вычислительная техника», а также литературу.

Чтобы иметь представление о точности и надежности полученных значений и , применяются интервальные оценки, в которые с заданной, так называемой доверительной вероятностью попадает истинное значение измеряемой величины. Обычно назначают достаточно большую доверительную вероятность, например, a = 0,95 или 0,99, при которой можно практически считать событие достоверным.

Так, интервальная оценка истинного значения измеряемой величины определяется по выражению

,

где e_m - погрешность, которая при заданной доверительной вероятности a определяется по формуле:

.

В этой формуле t_a - коэффициенты (квантили) Стюдента, зависящие от a и числа измерений n. Значения коэффициентов Стюдента при выполнении данной задачи могут быть определены по таблице 5.

Таблица 5

Доверительная вероятность a	Число измерений
0,95	2,78	2,57	2,48	2,37	2,31	2,26
0,99	4,60	4,03	3,71	3,50	3,36	3,25

Для самоподготовки к очному зачету контрольной работы по материалам данной задачи рекомендуется проработать следующие вопросы.

Дата добавления: 2015-04-30