Типовые задачи с решениями. В качестве стареющиго элемента рассмотрим аппарат для защиты от перенапряжений типа ОПН ( ограничитель перенапряжений нелинейный )

В качестве стареющиго элемента рассмотрим аппарат для защиты от перенапряжений типа ОПН (ограничитель перенапряжений нелинейный). Срок службы любого стареющиго элемента зависит как от физико-химических свойств этого элемента, так и от тяжести воздействий на него в период эксплуатации. Элемент выходит из строя, если выполняется неравенство

А_расх(t) ³А_расп, (7.1)

где А_расх(t) - ресурс элемента,израсходованный к моменту времени t,

А_расп - располагаемый ресурс элемента в начале его эксплуатации.

Примем, что определяющими при определении А_расх(t) защитным аппаратом типа ОПН являются коммутационные перенапряжения, при этом будем рассматривать две определяющие коммутации, например, коммутации включения ВЛ в цикле автоматического повторного включения (коммутация 1) и планового включения ВЛ(коммутация 2).В этом случае расходуемый ресурс определится как

А_расх(t) = , (7.2)

где

А₁₁ и А₁₂ - ресурсы, расходуемые при осуществлении единичных коммутаций 1-го и 2-го вида, соответственно;

n₁(t) и n₂(t) - числа коммутаций 1-го и 2-го вида к моменту времени эксплуатации элемента t.

Располагаемый ресурс аппарата типа ОПН при воздействии на него импульсов, характерных для коммутационных перенапряжений, может быть определен как

А_расп= , (7.3)

где I₀ - амплитуда нормируемого импульса тока, прикладываемого N раз при испытаниях аппарата.

Расходуемые ресурсы во время единичных коммутаций являются случайными величинами. Следовательно, случайным будет и срок службы аппарата. Принимая располагаемый ресурс не случайным и равнам _расп, а расходуемый ресурс при достаточно большом количестве воздействий на аппарат за время срока его службы распределенным по нормальному закону, получим

F_T(t) = 0.5 - (7.4)

Если принять потоки рассматриваемых коммутаций, подчиняющимися закону Пуассона, то

m_расх(t)=M[A₁(t)] + M[A₂(t)], (7.5)

D_расх(t)= D[A₁(t)] + D[A₂(t)], (7.6)

где M[A_k(t)] и D[A_k(t)] - математическое ожидание и дисперсия ресурса, рсходуемого за время t при осуществлении коммутации k -го вида, определяемые как:

М[A_k(t)]=l_ktM[A_1k], D[A_k(t)]=l_kt{D[A_1k]+M²[A_1k]}. (7.7)

В (7.7) A_1k - ресурс, расходуемый в единичной коммутации к-го вида (k=1,2).

Если принять гипотезу о нарушении работоспособности защитного аппарата при выходе из строя его единичного элемента (варистора), то располагаемый ресурс аппарата в целом определится током, приводящим к выходу из строя наиболее слабого единичного элемента из генеральной совокупности элементов, комплектующих аппарат. Закон распределения разрушающего тока для наиболее слабого элемента при этом может быть определен на основании закона распределения разрушающего тока для генеральной совокупности элементов:

, (7.8)

где s - число элементов в генеральной совокупности (полное число последовательных варисторов в ОПН),

- (7.9)

функция распределения разрушающего тока генеральной совокупности варисторов.

7.1. Определить срок службы ОПН с надежностью 0.95, если M[A₁₁]=0.7, M[A₁₂]=0.2, s[A_1k] = 2M[A_1k] (k=1;2), l₁=5 1/год, l₂= 10 1/год. Располагаемый ресурс аппарата составляет в тех же относительных единицах, что и расходуемые ресурсы, _расп=106.

Решение. Числовые характеристики ресурсов, расходуемых в течение срока службы t во время осуществления коммутаций 1 и 2, в рассматриваемом случае будут:

M[A₁]=5´0.7t=3.5t, M[A₂]=10´0.2t=2t, D[A₁]=5t[4´0.49 + 0.49]=12.25t,

D[A₂]=10t[4´0.04 + 0.04]= 2t.

Следовательно, числовые характеристики ресурса, расходуемого в аппарате за время t его эксплуатации определятся как

M[A_расх(t)]=M[A₁] + M[A₂]=5.5t, D[A_расх(t)]=D[A₁]+D[A₂]=14.25t.

Срок службы аппарата определится из уравнения(7.4):

0.5- =0.95.

Отсюда _расп-5.5t=3.586 .Подставляя _расп=106, получим квадратное уравнение для определения срока службы t:

x² - 1.129x - 19.27=0 (x = ).

Решив уравнение, получим t=25 лет. Следует отметить, что такой срок службы аппарата на уровне надежности 0.95 вполне приемлем.

7.2. Защитный аппарат среднего класса напряжения состоит из 5 последовательно соединенных варисторов (s=5). Разрушающий ток генеральной совокупности элементов распределен по нормальному закону с параметрами M[I_р]=400 A, s[I_р]=90 A. Сравнить функции распределения разрушающего тока для генеральной совокупности варисторов и для наиболее " слабого" элемента из этой совокупности. Определить также математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение разрушающего тока для наиболее "слабого" варистора.

Решение. Согласно (7.8) функция распределения разрушающего тока наиболее "слабого" варистора из 5 запишется в виде:

(7.10)

где

z=0.5+ - функция распределения разрушающего тока совокупности из пяти единичных варисторов.

Результаты расчетов приведены на рисунке, на котором указаны расчетные точки. Правая кривая отвечает функции распределения разрушающего тока совокупности из пяти варисторов, левая - наиболее "слабому "варистору из пяти.

Математическое ожидание ожидание и среднеквадратическое отклонение разрушающего тока наиболее "слабого" варистора из генеральной совокупности определяются как

M[I_p1] = , D[I_p1] = 2 -M²[I_p1]. (7.11)

В рассматриваемом примере, вычисляя интегралы (7.11) численно, получаем M[I_p1]=295 A, D[I_p1]=61.8 A.

Задачи для самостоятельного решения по разделу 7

Задание 7

Варианты 1...12. Токовые воздействия на ОПН определяются, в основном, двумя коммутациями, для которых заданы числовые характеристики расходуемого ресурса (во всех вариантах принять s[А_расх1j]=2M[А_расх1j], j =1,2). Интенсивности потоков этих коммутаций составляют l₁=5 1/год, l₂=10 1/год.

В вариантах 1...6 определить величину требуемого располагаемого ресурса аппарата, при которой срок службы ОПН на уровне надежности 0.95 составляет 25 лет (F_T(25) = 0.95).

В вариантах 7...12 при заданном значении располагаемого ресурса определить срок службы аппарата на уровне надежности 0.95.

Характеристики	Номер варианта
расход. ресурса	1, 7	2, 8	3, 9	4, 10	5, 11	6, 12
М[Aрасх11]	0.7	0.6	0.5	0.7	0.6	0.5
M[Aрасх12]	0.1	0.1	0.05	0.05	0.2	0.1
арасп

Примечание: а_расп задано в вариантах 7...12.

В вариантах 13...15 построить функции распределения разрушающего тока аппарата с параметрами варисторов,отвечающими их генеральной совокупности объемом s, и c параметрами наиболее "слабого" варистора из

этой генеральной совокупности.

Заданы числовые характеристики разрушающего тока с параметрами варисторов, отвечающими генеральной совокупности.

Определить также математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение разрушающего тока наиболее "слабого" варистора.

Номер варианта	M[Iр], A	s[Ip], A	s

Литература

1.Кадомская К.П. Основы математической теории надежности и её приложения к задачам электроэнергетики: Учебное пособие/Новосиб.гос.техн.ун-т.-Новосибирск.-1995.-68 с.

Кадомская К.П. Основы математической теории надежности и её приложения к задачам электроэнергетики: Сборник задач/Новосиб.гос.техн. ун-т.-Новосибирск-1998.- с.

В сборнике рассматриваются способы решения задач из некоторых разделов математической теории надежности и её приложений к задачам электроэнергетики.По каждому разделу даны типовые задачи с подробными их решениями и приводятся задачи для самостоятельного их решения студентами.

Рецензент канд.техн. наук, доцент

И.А. Ефремов

Работа подготовлена кафедрой техники и электрофизики высоких

напряжений

Новосибирский государственный

технический университет,1998 г.

Редактор И.Л.Кескевич

Корректор

К.П.КАДОМСКАЯ

Дата добавления: 2015-04-30